問題状況・探究

作図ツールを使ってどんな問題をどう探究するとどんなことが分かるのか,また分かったのか。 ここでは, そんないろいろな事例を蓄積していきます。これを一つの手がかりに, 作図ツールを使って 図形の世界を楽しんでみてください。
ここにある素材は, そのまま授業で使えるとは限りません。ここを手がかりに, 「この図はこういうところが面白い」ということを感じたら，「その体験の教材化・授業化」を 次の課題としてください。

[1点]

• [共点性](3本以上の直線が一点を通ることは当たり前ではない) →「三角形→一点」

[2点]

• 2点間の距離
• [点を作る]:[点対称],内分/外分,n等分,
• [直線を作る]:
• [円を作る]:
• [条件を満たす点の集合]:[2点等距(PA=PB)],[PA+PB=一定],[PA-PB=一定],[PA/PB=一定]
• [条件を満たす直線の集合]:
• [条件を満たす円の集合]:

[1線分/直線]

• [決定条件](2点で決まる等)
• [共線性](3点以上の点が一直線上に集まることは当たり前ではない)
• [分割]
• [垂2分線]
• [1線1点]:線対称,[1線2点]:最短問題,

[2直線]

• 位置関係
• [2線1円](接するための中心の位置)
• [2線1点](線対称の合成,等距離の点の軌跡)
• [分割]

[3点]

• [3点等距],
• [3点領地],[n点領地]:領域の分割

[3角形]

• [3角形→1点] :
  
  • [いろいろな心]:重心, 内心, 外心, 垂心, 傍心, Fermat 点
  • [心の特徴づけ -「調べて発見するための課題作り」]
  • [心の軌跡]: [最初の問い], [第二の問い] ( 重心, 外心, 内心, 垂心 ) [第三の問い(各論)] ( 重心,外心,内心,垂心 )
  • [複数の「心」の関係]: 重心と外心, 4つの心 内心と傍心
• [3角形→1円] : 内接円, 外接円, 傍接円, 9点円
• [3角形→1直線] : オイラー線, シムソン線, シムソンの定理の一般化
• [3角1点]: [3角3線分], [3角3垂線], [3角形の面積の分割]
• [3角1点→3角]: 点対称, 線対称, 垂足三角形, シムソンの定理の一般化に関わって(垂足三角形に関連して)
• [3角中点]
• [3角形を折る]

[直角3角形]

• 三平方の定理

[2等辺3角形]

[2等平2線],[2等垂2線],

[直角2等辺3角形]

• [直2等1線]

[正3角形]

[2辺正3角], [3辺正3角(1)], [3辺正3角(2)], [4辺正3角(1)]

• [正3角垂足]

[4角形]

• [4角形→1点]:三角形のいろいろな「心」は4角形にはあるのか?
  • (必ずある)重心
  • (あることもある)内心, 外心
  • (ない)垂心
  • (?)傍心
• [4角→4角]
  • [4角中点], [4角中点のもう一つの形]
    
  • [4角角2分][4角角2分(by Don)]
  • [4角垂2分]
  • [4角重心],
  • [4角内心],
  • [4角外心],
  • [4角垂心],
• [その他]:[4角面積]

[正方形]

• [√n]
• [正4接正4]:正方形に内接する正方形
• 正方形の十字切断

[1円]

• [1円1点](接線の作図)
• [1円1点→1点](反転の作図)
• [1円1点→1線](極線)[1円1線→1点](極点),[1円2点](最短性)
• [1円1線](位置関係)
• [1円2線]

[2円]

• 位置関係
• [2円変化]:2つの円の半径が一定のきまりの下で変化
  [等しく変化], [倍率一定], [和が一定], [差が一定],
  
• [2円1線], [特殊な場合],
• [2円2線], [by 乙部]
• [2円3角],

[3円]

[3円接線],[3円交線](震源地),[3円3線],

[面積/その和]

• 4角面和
• 6角面和,8角面和
• 2つの3角形の面積の和
• 3角面積

[2次曲線]

• [楕円], [双曲線], [放物線], [離心率]
• 5点によって定まる2次曲線

[軌跡・通過領域・包絡線]

• 垂2分線：垂直二等分線を動かしたら何が見えるか(二次曲線)
• シムソン線

[曲線]

• レムニスケート(連珠形) : A(a,0),B(-a,0), P; PA・PB=a²など : r = a√(cos2θ)

[複素数](特に写像としての観点から)

• 直交座標系と極座標系
• 二次式(w = a z ² + b z + c)
  • z ² + z + 1 = 0 の解に関連して
  • 係数が複素数になっても,解は2つあるのか

• ---

• 和,差,積,一次式(w = a z + b),
• 逆数(w = 1 / z)
  • 直角三角形の像
• 写像としての観点からの考察(1), (2)
• 一次分数関数(w = (a z + b)/(c z + d)))

• ---

• 共役
• w = z + 1 / z

• ---

• 高次方程式に関連して
  • xⁿ = 1 (円分多項式)の解はすぐに分かる。ちょっと違った式でも解はあるのか
  • z⁷ = 1 の解を探そう
    
  • z⁷ + α z = 1 の解を探そう(f(z) = z⁷ + α z による 単位円の像 )
    
  • z,z²,z³,..,z⁷のなす形
  • { z,z²,z³,z⁴,...,zⁿ,}について
  • ｚ³＋ｚ²＋ｚ＋１＋ｉ＝０　の解の存在：代数学の基本定理を実感する

• ---

• 図形の形状に関連して
• O,z, 1/z, z + 1/z のなす四角形:形状,面積

[変換]

• [線対称移動], [点対称移動],
  [線対称移動の合成], [点対称移動の合成], [線対称と点対称移動の合成],
• [1次変換], [アフィン変換], [射影変換], [メビウス変換(複素数:1次変換)]

[いろいろな定理]

• 中点連結定理
• 円周角の定理
• 三平方の定理,四平方(?)の定理
• モーレーの定理

[モデル化]

• 二つ折のドアの動き
• ピストンの動き
• 街灯による影の動き
• 鏡に写るもの(いずれ,再編集)

[関数のグラフ]

• 概要

[その他]

• ３線円接 by 坂井さん

道場破りのコーナー(未解決の問題)

1. 96/09/13神戸大学の加藤野得さんによる解答
   
2. 96/09/20
3. 96/09/27

[命名規則]

基本的に,タイトルは,GC/DOSでのファイル名として使うものを想定し,半角8文字(全角4文字)に収まるようにしています。
しかし,win95/98などの普及や,全角4文字の制限のきつさを考えると,あまり冗長でない程度に納めるという程度に緩く考えていこうと思っています。