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ｚ³＋ｚ²＋ｚ＋１＋ｉ＝０　の解の存在

−代数学の基本定理を実感する−

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問題状況

ｚ3＋ｚ2＋ｚ＋１＋ｉ＝０　の解を求めよ。

いろいろな探究

• 解が３個あることを実感する：代数学の基本定理の実感

  複素数から複素数への関数（あるいは写像）として，
  ｆ（ｚ）＝ｚ³＋ｚ²＋ｚ＋１＋ｉ
  を考える。

  原点を中心とする円の半径を少しずつ変えながら，ｚをその円の上で動かし，ｆ（ｚ）の像を観察してみる。

  半径	像の様子
  r = 1.5	像が原点の回りを3回回っている
  r = 1.25	像が原点の回りを2回回っている
  r = 1	像が原点の回りを1回回っている
  r = 0.75	像が原点から外れた
  r = 0.5	像が原点から離れ, 1+i の近くにまとまっていく
  r = 0.25	像も円に近い形になり,1+iの回りを1回回っている
  r = 0.25	上記の拡大図

  r = 1.5 から r=1.25 になる途中で,「3重」が「2重」に変わる変わり目で像が原点を通過するはず(そこに解が1つある)

  r = 1.25 から r=1 になる途中で,「2重」が「1重」に変わる変わり目で像が原点を通過するはず(そこに解が1つある)

  r = 1 から r=0.75 になる途中で,「1重」が「0重」に変わる変わり目で像が原点を通過するはず(そこに解が1つある)

  このようにして,「3重」の輪が「0重」になるまでに,3回通過するはずで,3つの解がある。

  同様に,「n次式」であれば,最初の円の半径を大きくしておくと「n重」するはずで,その半径を小さくしていくのに応じて少しずつ像が変化し,「0重」までほどけていくはずだから,その途中に解が n個あると考えられる。

  このアイデアは,愛知教育大学附属高校の石川理雄氏による。

• 解を近似的に求める

  上記のように,半径を微妙に変化させながら,像が原点を通過するときが近似的に求まったら,原点にとても近い点に f(z)が来るような z をその円上で探したらよい。

  像が原点の近くを通る
  原点の近くを通る
  座標も調べる