w = 1/z による三角形の像

問題状況

複素数平面上に3点 A(1), B(i), C(1+i) を頂点とする3角形があり,点 P(z) がΔABC上の周上を動くとき, W = 1/z を満たす複素数 W の表す点 Q のえがく図形を図示せよ。

この問題は,島根県立三刀屋高等学校の栂瀬先生,柿本先生が 1998年度の山口大会で発表される資料に基づくものです。(大学入試の問題より)

いろいろな探究

点 Z とその像 W を一つ作り,動かしてみる。
たとえば,次のような図を作ってみましょう。

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軌跡を残しながらマウスで Z を Δ ABC の上らしきところをなぞると,次のようになります。

フリーハンドのような図ですから,あまりきちんとした図にはなっていません。
しかし,この「汚い図」でも,何となく,何かを表していそうと,その気になってみると,何となく何か見えてきませんか。
個人的には,そういうものから,「本当はこういうことがありそう」というのを,みんなで議論するのが,数学的かなと思いますが。
点 Z の動きを AB 上に制限してみる。
きちんとやろうということになると,点の動きを制限するという手があります。
たとえば, Z の動きを AB 上に制限してみましょう。

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しかし, これはこれできれいになりますが,BC, CA の上に変更したりするのは面倒ですね。
点 Z1,Z2,Z3 というのを用意しておくという手もある
授業などで「見せる」という場合には,あらかじめ,3つの辺の上に,それぞれ Z1, Z2, Z3 を用意しておくという手もあります。
すると,次のような図が順次できることになります。

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まず,図形を読み込みます。

点Zを AB 上で動かしてみます。。

続いて, BC上で動かしてみます。(このとき,実際には,動かす点が変わります。)

さらに,CA上でも動かします。

マウスなどで,より「濃く」書こうとすると,次のようになります。

図としては,上記のように得られますが,さて,数学的には,どう解釈するといいのでしょう。