[GC Forum]
[GC ワールド]
[問題状況・探究]
4角→4角
愛知教育大学 数学教室
飯島康之
問題状況
この問題はなかなか興味深い問題だった。
興味深い問題があったとき,関連する事例を探してみてさらにいい例を見つけるのは,有力な方法である。
おそらく,そこで最も基本的な着眼点の一つは,この作図が,
φ:四角形 ABCD → 四角形 EFGH
|
|
という形をしていることだろう。
つまり,四角形 ABCD を変化させたときに,それを元にできる 四角形 EFGH はどう変わるのかという問題であり, 四角形 EFGH が四角形 ABCD の関数になっているという見方である。
そのため,関連する事例,つまり「四角形→四角形」という事例を集めてみて,
等の事柄について調べてみることが可能になる。
問題文の明確化とその条件変え
元の問題文の明確化
四角形ABCDの4つの辺の中点を結ぶと四角形EFGHができる。
条件変え(1):四角形の構成要素のみからの構成
(元)四角形ABCDの4つの辺の中点を結ぶと四角形EFGHができる。
|
| 「4角中点」へ
|
四角形ABCDの4つの辺の垂直二等分線のそれぞれの交点を結ぶと四角形EFGHができる。
|
| 「4角垂2分」へ
|
四角形ABCDの4つの角の二等分線のそれぞれの交点を結ぶと四角形EFGHができる。
|
| 「4角角2分」へ
|
条件変え(2):四角形の対角線を追加:4つの3角形ができる(1)
4つの3角形 = ΔEAB, ΔEBC, ΔECD, ΔEDA
それぞれの三角形の内心を結んで三角形を作る
|
|
|
それぞれの三角形の外心を結んで三角形を作る
|
|
|
それぞれの三角形の重心を結んで三角形を作る
|
|
|
それぞれの三角形の垂心を結んで三角形を作る
|
|
|
条件変え(2'):四角形の対角線を追加:4つの3角形ができる(2)
4つの3角形 = ΔABC, ΔBCD, ΔCDA, ΔDAB
それぞれの三角形の内心を結んで三角形を作る
|
|
|
それぞれの三角形の外心を結んで三角形を作る
|
|
|
それぞれの三角形の重心を結んで三角形を作る
|
|
|
それぞれの三角形の垂心を結んで三角形を作る
|
|
|
条件変え(3):四角形の内部に1点Eをとり, 頂点と結ぶ:4つの3角形ができる
(四角形 + 1点→四角形)
4つの3角形 = ΔEAB, ΔEBC, ΔECD, ΔEDA
それぞれの三角形の内心を結んで三角形を作る
|
|
|
それぞれの三角形の外心を結んで三角形を作る
|
|
|
それぞれの三角形の重心を結んで三角形を作る
|
|
|
それぞれの三角形の垂心を結んで三角形を作る
|
|
|
条件変え(4):四角形の内部に1点Eをとり, ある操作で点を作る:4つの点ができる
(四角形 + 1点→四角形)
それぞれの頂点を中心に点対称移動する
|
|
|
それぞれの辺に対して線対称移動する
|
|
|
その他
- 高石幸信さんによる例(1999/06/15)
- 上原永護さんによる例
4つの点のそれぞれを中心にし他の点を点対称移動する。
すると,次の図ができる。
関連することは,「Cabri II の部屋」に
- 上記の図は,「四角形の辺を3等分ずつし,それらを結んでできる図」を作る方法の「逆」になっています。
- 問題:「4角中点」に関しては,上記のような「逆」の作図方法はあるでしょうか。(答:一意には決まらない/あるいはない)
リソース
- 飯島(1992)「作図ツールを用いた問題解決における問題の変容と問題生成の一方略について−作図の構成的な性格とコンピュータによる支援について(その3)−」イプシロン,vol.34,32-48