愛知教育大学
数学教育講座
飯島:
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４角中点
問題状況
四角形ＡＢＣＤの４つの辺の中点を結ぶと中に四角形ＥＦＧＨができる。
四角形ＡＢＣＤを変形させると、中の四角形ＥＦＧＨはどのように変化するだろうか。
いろいろな探究
教科書にあるのは
この図は,中学校の教科書には必ずあります。教科書によって,どういう問題文を掲載するかは,多少違います。
- 四角形 EFGH はどんな形になるか(オープンなきき方)
- 四角形 EFGH は平行四辺形になることを証明せよ。
- 四角形 ABCD が○○(たとえば長方形)のときに,四角形 EFGH はどんな形になるか(あるいは,答えを明示したよりクローズドな証明問題)
- 四角形 EFGH が○○(たとえば長方形)になるのは,四角形 ABCD がどんな形のときか(あるいは,答えを明示したよりクローズドな証明問題)
- 典型的な形(長方形,正方形,ひし形,平行四辺形,四角形など)のみで考えるケースと,条件としての「対角線」を考えるケース
形に注目する
面積に注目する
線分に注目する
- 点A を動かしても変わらない線分はどれか(動かないもの/動くけれども○○が変わらないもの)
三角形に注目する
動かし方
- 1点
- 2点(辺[ADなど])
- 2点(対角線[ACなど])
特殊化
- 2点が重なって三角形になったら
- 3点が一直線上になって三角形になったら
- EFGHが一直線になったら
一般化
- 「中点」を一般化する
- 「平面内」の四角形を一般化する
- 「四角形」を一般化する
条件変え(あるいは類比)
- 「4角」→「それぞれの辺の中点」→「それらの結び方を変える」(上原さんによる)
- [4角→4角]:
「四角形の『それぞれの辺の中点』を結んでできる四角形」を変えてみる
(図形から図形への関数 f:ABCD → EFGH ととらえ,その仕組みを変えてみる)
- 「それぞれの角の二等分線」からできる四角形
- 「それぞれの辺の垂直二等分線」からできる四角形
- 四角形に対角線を追加し,それを元にさらに発展させる
- できる4つの 3角形の心(重心,外心,垂心,内心等)を結ぶ
- 1つの対角線で2つの3角形ができ,1つだと2種類の重なった3角形ができるので,合計4つの3角形ができる。それら4つの3角形の心を結ぶ
- 四角形の内部(外に出してもいいが)に1点Pを追加し,それを元にさらに発展させる
- Pをそれぞれの頂点に対して点対称移動して四角形を作る
- Pとそれぞれの頂点との中点を取って四角形を作る。
- Pをそれぞれの辺に対して線対称移動して四角形を作る
- Pからそれぞれの辺に対して垂線の足を下ろして四角形を作る
- 四角形の内部(外に出してもいいが)に1点Pを追加し,Pと4つの頂点を結んで3角形を4つ作り,それを元にさらに発展させる
- できる4つの 3角形の心(重心,外心,垂心,内心等)を結ぶ