愛知教育大学
数学教育講座
飯島:
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4角面積
問題状況
四角形の面積が変わらないように変形したい。
どういう変形の仕方があるか。
- 1点を動かす
- 2点を動かす(1):対角線を動かす
- 2点を動かす(2):辺を動かす
- 3点(4点)を動かす
1点を動かす
一つの頂点を動かすときは,対角線に平行に動かせばよい。
片方の三角形の面積に注目すれば,底辺が一定なので,高さが一定になればいいからだ。
凸四角形のGCデータ
もとの形がひし形のように,対角線が水平・垂直になっている場合はキーボードで上下左右になるので分かりやすい。
ひし形のGCデータ
2点を動かす(1) - 対角線を動かす -
たとえば,ひし形の場合で,縦の対角線を動かしてみよう。上下に動かしても面積は一定である。また,左右に動かしても,面積は一定である。
では,「上下」に動かした後で,「左右」に動かしてもいいのだろうか。
GCデータ
また,この結果はどの程度まで一般化できるのだろうか。
すぐに思いつくのは,次のような例ではなかろうか。
長方形
GCデータ
平行四辺形
GCデータ
台形
GCデータ
一般の凸四角形
GCデータ
さて,結果は予想に合っていただろうか。実は私(飯島)の場合,予想は外れた。「平行四辺形」あたりではないかと思った。しかし,結果は一般の凸四角形でもOKというものだった。結果の証明はかなり簡単である。対角線を引いて,面積の増加分と減少分が等しいことに注目すればいい。しかし,その理由を考える場合も,ひし形ならば,「高さ」がそのまま出るので,分かりやすい。(それ以外の場合は対角線が他方に対して「斜め」になるので,分かりにくさは出てくる。)
2点を動かす(2) - 辺を動かす -
対角線の方が意外だったので,別の2点を考えてみると,「辺」を動かすことになる。これを考えやすいのは「長方形」である。長方形の場合は結果は明白だ。
GCデータ
縦の辺は縦に,横の辺は横にということになる。
もう少しきちんと説明するには,平行四辺形がいいかもしれない。
GCデータ
要するに,対辺に平行に動かせばいいのである。
当たり前のことだが,これらは対辺の平行性があるからだ。だから,台形の場合は一方の辺に関しては同様に言えるが,もう一方に関してはうまく言えない。
GCデータ
そして,一般の凸多角形に関してはどちらの辺に関しても,うまく言えない。
GCデータ
すると,ここで問題が生まれて来る。
一般の凸四角形の場合,辺ADはどういう位置に置けば,元の四角形の面積と等しくなるのだろうか。
3点(4点)を動かす
調子に乗って(?)3点を考えることもありうる。しかし,やってみると分かるけれども,相対的に考えれば,1点が動いているのと同じである。4点の場合は,図形全体を動かしているのだから,その図形にとっては変形していないのと一緒だ。