出発点

気がついたことの最初に,次のような気づきがありました。

この一番オープンな発問をするときというのは,多くの場合,

• 同じ図であっても,人によって感じること(図の解釈)は違う
  
• その多様性をうまく生かして授業を設計したい

ということを主眼にしているのですが,この気づきは私にとってとても新鮮でした。
「他には...」
と聞きつつも,「この気づきをどう生かせるか」を考えてみたくなりました。
そこで,こう聞きました。
「こういう気づきを生徒がしたら,次にどうしますか。」
(いやな講師ですね。)

「それが正しいかどうかを確かめるにはどうしたらいいか」
という種類の発言もありましたが,
「長方形を変形したらどうなる」
という発言もありました。

発問

私もそういう方向性を考えていました。つまり,

「外が長方形のときには,4つの三角形はどれも合同になります。
外の四角形が長方形でなくなると,4つの三角形について合同ではなくなるかもしれません。でも,別の秘密が成り立っているかもしれません。
では,それを調べてみましょう。
そうそう(しらじらしく?)どんな四角形について調べたらいいか分からないと,グループごとの作業ができませんよね。
長方形の他にどんな四角形について調べたらいいでしょう。」

調べるべき四角形の種類

こんな案が出ました。
「正方形,平行四辺形,ひし形,台形,等脚台形,一般の四角形」
そこで,グループを6つに分けて,調べてみました。
当初「合同にはならないな」というつぶやきがあったので,
「YesかNoかだけではつまらないので,Noだとしても,ちょっと違うことは成立するかもしれないし,Yesだとしても,もっと詳しいことが言えるかもしれないですよ」
と付け加えました。

作業

発表と議論

正方形

私:「長方形では,4つの合同な三角形があったのですが,正方形ではどうでしたか。」
参加者:「4つの合同な二等辺三角形があります。」
私:「なるほど,二等辺という部分が詳しくなりますね。
「そうか,もっと詳しく言うこともできますね。」(この辺はアドリブ)
参加者:「直角二等辺三角形ですね。」
私:「はい,『正方形では,4つの合同な直角二等辺三角形がある』と言えることがわかりました。
「さて,正方形について,こう詳しい言い方をするとしたら,長方形の場合もちょっと言い換えた方がいいかもしれませんね。どう表現したらいいでしょう。」
参加者:「4つの合同な直角三角形がある」

ひし形

私:「ひし形ではどうでしたか。」
参加者:「向かい合う二組の三角形が合同な二等辺三角形になります。」

平行四辺形

私:「平行四辺形ではどうでしたか。」
参加者:「向かい合う二組の三角形が合同な三角形になります。」
私:「なるほど,そうですね。他の表現を考えた人はいませんか。」
参加者:「...」
私:「分かりました。では,それだけにしておきましょう。」

等脚台形

私:「等脚台形ではどうでしたか。」
参加者:「左右の二組の三角形が合同な三角形になります。」

台形

私:「台形ではどうでしたか。」
参加者:「左右の二組の三角形の面積が等しくなります。」

一般の凸四角形

私:「一般の場合はどうでしょう。これはなかなか難しいのですけど,何か関係はないでしょうか。」
参加者:「向かい合う三角形同士の面積を足したものは等しくなります。」
私:「そうですね。他にも何か関係はあるでしょうか。」
参加者:「...」
私:「では,観点を変えてききましょう。向かい合う三角形同士の面積は等しいというのだけど,それはどうしてですか。」
参加者:「対角線を引くと,大きな三角形の1/4ずつになるので,向かい合うのを加えると全体の1/4になるから。」
私:「そう。そこから,また新しいことが分かりますね。」
「(1)と(3)を加えると全体の1/4。
(2)と(4)を加えるとやはり全体の1/4。
だから...」
参加者:「そうか,全部を加えると,全体の1/2になるんだ。」
私:「そう,4つの三角形を加えると,全体の1/2になるということは,

• 4つの四角形の面積の和は中の四角形の面積に等しい
• 中の四角形の面積は外の四角形の面積の半分である

講座でのこの問題の探究は,ここまでで終わりにし,一旦休憩し,次の話題へと進みました。

結果を表にまとめてみると

ここでの作業の結果を表にまとめてみると,こうなります。

外の四角形の形	4つの三角形にある関係
正方形	合同な直角二等辺三角形が4つ
長方形	合同な直角三角形が4つ
ひし形	向かい合う2組の三角形が,合同な二等辺三角形
平行四辺形	向かい合う二組の三角形が合同な三角形
等脚台形	左右の2組の三角形が,合同な二等辺三角形
台形	2組の三角形が,面積の等しい三角形
凸四角形	向かい合う2組の三角形の面積の和が等しい

もう少しうまく整理することは可能でしょうか。

サバイバルゲームの観点で考えると

関係/四角形	正方形	長方形	ひし形	平行四辺形	等脚台形	台形	凸四角形
合同な直角二等辺三角形が4つ	○
合同な直角三角形が4つ	○	○
向かい合う2組の三角形が,合同な二等辺三角形	○		○
向かい合う2組の三角形が,合同な三角形	○		○	○
左右の2組の三角形が,合同な二等辺三角形	○	○		○	○
2組の三角形が,面積の等しい三角形	○	○	○	○	○	○
向かい合う2組の三角形の面積の和が等しい	○	○	○	○	○	○	○

でも,なんかごちゃごちゃしていますね。

うまく整理できないか

• 合同な三角形(4つ,向かい合う2組,隣り合う2組)
• 直角三角形
• 二等辺三角形
• 面積および面積の和

それらに対応するような「四角形を分類する観点」を考えてみると,

• 辺の平行性の数(0,1,2)
• 対称性(線対称性(辺に平行な軸,対角線に平行な軸)
• 辺の長さの相等性(対辺(0,1,2),隣辺(0,1,2))
• 角の相等性(対角(0,1,2),隣角(0,1,2))

さて,どうしましょ。
...(続く)