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[問題状況・探究]
愛知教育大学 数学教室
高石幸信さんによる例(1999/06/15)
問題状況
四角形 ABCD があり,その辺 AB,BC,CD,DA 上に, それぞれ K,L,M,N をとる。
ALとBNの交点をE, BMとCKの交点をG, DKとAMの交点をH として 四角形 EFGHを作る。
高石さんの発見
A,B,C,D,K,L,M,N をどのようにとっても,二つの四角形の対角線は一点で交わる。
「証明はすぐに分からなかったんですけど,図を何通りも書いたのですが,どうも成り立つようなので」という高石さんの言葉に(ちょうどそのとき痛み始めた歯の痛みに,「タイミングの悪いときに来るやつだ」と思いつつも,彼のうれしそうな顔に「仕方ないなあ」と,目の前で作図してあげて,確認してのました。)
パッポスの定理との関わり
「証明の方はどうなるんだろう」と話しをしながら,思い出したのが,パッポスの定理です。
つまり,次の図における3点の共線性。
↓
これを前提にすると,高石さんの発見は証明できることになります。
関連する図
(片方の条件のみを残したもの)
(四角形を3角形分割し,それぞれの内心を結んだもの。この事例の証明とは関連はないが,結果は関連している。)
