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3角形の外側に正方形 / 推論:余弦定理→分かりやすい関係の発見(
GC World 2 : 探究記録 ,探究記録集 1
)
自分で考えないで人に任せるというわけではないが,興味深い問題があるときに,仲間に投げかけてみることはよくある。教授会で隣にいた同僚の鈴木さんに投げかけてみた。
「この問題って,余弦定理の応用で解けるとしたら,高1程度でできるわけだから,練習問題や入試問題なんかにあってもおかしくないんだけど,見たことある?」
「いや,見たことはないよ。」
そして,彼の計算が始まる。
...
「なかなかきれいな結果が出るんだね」
彼が示したのは,次の結果である。
A2 = b2 + c2 - 2 bc cos θ3
ここで,同様の3つの関係を使うのではなく,その反対側に注目すると次の関係式が得られる。
a2 = b2 + c2 + 2 bc cos θ3
すると,二つの式を加えることで,次の図に関する,cos θ3を消去した関係が得られる。
a2 + A2 = 2(b2 + c2)
同様にして,
b2 + B2 = 2(c2 + a2)
c2 + C2 = 2(a2 + b2)
3つの式を加えて
(a2 + b2 + c2) + (A2 + B2 + C2) = 4(a2 + b2 + c2)
つまり,
(A2 + B2 + C2) = 3(a2 + b2 + c2)
目のつけどころで,こんなに違う結果になる。
GC/Win