シムソンの定理の一般化（探究記録:その2）

はじめに

以下に記述するのは，シムソンの定理の教材化の過程で，私なりに探究した経過です。もちろん，別の展開もありうるでしょうし，既知の内容であることもあるかもしれません。お気づきの点などありましたら，メールをいただければ幸いです。

これまではこちら

matheduへの投稿

1999/11/16に,次のような投稿をしました。

飯島です。

附属高校でシムソン線の問題の教材化をするあたりから,
一つの命題を見つけ,実験的には正しそうなのですが,証明まではいたって
いません。

これらの内容について,何か知っていらっしゃることがありましたら,
教えていただけると幸いです。

なお,大まかな内容は,次の2つです。
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命題６
ΔABCの外心Oを中心とする円C上に点Pをとり,
それぞれの辺(およびその延長)に下ろした
垂線の足をそれぞれ D,E,F とすると,ΔDEFの面積は一定である。
特に,C が外接円に一致する場合には,面積は 0 となる。
また,Cが外接円に含まれるような円のみに限定すると,
Pが外心 O と一致する場合は面積が最大になり,ΔABCの1/4となる。
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命題７
ΔABCの外心Oとする。
動点Pをとり,それぞれの辺(およびその延長)に下ろした
垂線の足をそれぞれ D,E,F とすると,ΔDEFの面積は次の式で表される。

ΔDEF = ΔABC * (1 - (PO/AO)^2)/4

特に,P が外接円にある場合には,面積は 0 となる。
また,P の動きを三角形の内部(等[鈍角三角形の場合は修正が必要])
に限定すると,Pが外心 O と一致する場合に面積が最大になり,ΔABCの1/4となる。
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なお,これに関する探究記録の詳細は,
http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/gc/world/simson/11.htm
にあります。

すると,これに関連して,いろいろな反応がありました。

詳しい記録は,こちらにありますが,おおまかな流れは次のようになっています。

• 竹田さんから,解けたよというメール
• 高遠さんから,数式処理で解けたよというメール
• WWW化に関する提案とやりとり
• 「発見」と「証明」の分業について
• 竹田さんが,別のメーリングリストに流して,フランスの幾何の本に掲載されているという報告を受けそれを報告してくださる
• 高遠さんの方法は,独自の工夫(mnr法)に基づくMapleの利用であったことが分かる
• ライブラリ等の公開を含めて WWW での公開を検討
• 宮口さんが,Mathematicaを使った方法を報告する
• 高遠さんと宮口さんの間で,それについて議論

この議論は私にとって,いろいろな意味で刺激的でした。

• 最近ほとんど会話がなかった mathedu だが, 活発な議論がなされた。話題さえあれば,いいメンバーが揃っているということはとても意味がある。

• 「発見」を一人で抱え,最後の証明まで持って行くのも確かに一つの方法だし,そこまで持って行かないと「数学的な仕事」としては確立しないのかもしれない。しかし,その内容が,自分の専門そのものでない場合(たとえば,私は初等幾何の専門家ではなく,数学教育学の専門家),最後まで自力で解決しなければならない必然性はない。また,それを貫徹するだけの時間等のゆとりもない。しかも,初等幾何のように,これまでの歴史が長く,現在その専門家は非常に少ないような分野では,たとえ証明できたとしても,それが新しい定理である可能性は低いし,新しいかどうかを判定可能な人も少ない。そのような領域では,「発見」を一人で抱え込むよりも,それをみんなで議論し,「証明」を分業してみるのも一つの手である。実際,竹田さんと高遠さんからすぐに連絡を受けることができたことは,それを実感させてくれた。

• メーリングリストのチェーンで,見知らぬ方に支えていただくこともあるということを,竹田さん→戸田さん→竹田さんの流れから実感した。特に,めったに知る人がいないような資料がこういう形で出てくるということにとても大きな驚きを覚えた。「私だけしか知らないからこそ意味がある」という価値観(希少価値に基づく価値観)とは全く異なるものを改めて実感した。

• 戸田さんは自称「初等幾何マニア」というだけあってか,それとも私自身に初等幾何的な知識と才能がないのか,その補題の流れを見るだけで,「なるほど」と言えないところが寂しいものであった。今もまだ時間を見つけては格闘しているのだが,そういう中からも,新しい気づきがあったりして,それはそれで楽しいことではある。

• なお,高遠さんから指摘された「幾何学大辞典(補巻2)」を探しに図書館に行ったら,補巻1までしかなかった。やはり,資料は継続的に整備しておかないと,いざというときにやくにたたない。

• 高遠さんの研究は,以前に日本数学教育学会の論文発表会等で伺っていたのだが,初等幾何に数式処理を使うという方法は,頭では分かっていたものではあるが,その効果を改めて実感することができた。同時に,きちんと使えるようにするには,それなりの基礎知識が必要であることと,高遠さんのように,適切なライブラリを作ることの必要性があることを感じた。私にすぐにできることではないかもしれないし,高遠さんがなさる仕事ということになるのかもしれないが,「初等幾何に数式処理を使う」ための基本的な知識とノウハウ,そしてそれを支えるライブラリ等の環境の公開と共有を進めて行くということは,大きな意味があることを感じた。

• 幾何的なインターフェイスとして,作図ツールは基本的に,「発見のための手段」である。そのため,「大体正しいのではないか」というようなことを見つける手段としては役に立つ。しかし,それを数学的に証明するための手段がない。もちろん,授業等の場面においては,帰着させたい数学というものが明確なので,実はあまり困ることはない。平面幾何の既存の体系や,他の数学で扱えないものは,授業としては扱えないからだ。しかし,今回のように,一歩その枠を出て,少なくとも自分にとって未知の領域に差しかかったとき,どうしたらいいのだろうか。一つの方法は,「数学をする」という方法だ。今回の竹田さん/戸田さんの支援のように,初等幾何的な問題としてきちんと取り組むというのも一つの方法だ。

• そのような「証明エンジン」としての数学あるいは幾何の体系を考えたとき,「初等幾何」の体系を「証明エンジン」化した試みはないわけではないが,まだ実用的な域にまでは到達していないように思える。それに対して,「解析幾何」による証明は,高遠さんが示されたように,数式処理システムをうまく活用することによって可能である。本当に使いやすい段階までいっていると言っていいのか。高遠さんの mnr 法があれば十分と思っていいのか。あるいは,作図ツールなどのインターフェイスとの融合を考えるべきなのか。あるいは,そういう工夫をしてもあまり発展が考えられない領域なのか,そのあたりの事情は今の私には分からない。それらは直接的に,「現在行なわれている数学の授業改善」に使われるような数学学習環境ではないだろう。しかし,もっと広い意味での数学的探究の道具になりうることを感じた。