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四角形の4辺の上に正方形 / 鍵は「回転」か?(
GC World 2 : 探究記録 ,探究記録集 2
)
フェルマー点の場合を思い出してみると, 鍵は「回転」ではないかと思えます。
特殊な場合は, 合同で証明できることもあれば, 相似で証明できることもありますが, どんな場合にも通用する証明という意味では, 回転と考える方がいいわけで, この図を,
・対角線がどこかを中心に90°回転になっているはず
という目で考えてみることにしました。
・それはどこだ?
というのが問題になります。
・2点が重なるとすると, その回転の中心は, それらを結ぶ線分の垂直二等分線上にあるはず
ですから, たとえば,
・PQを重ねるような中心の候補の集合としての垂直二等分線を作ってみました。
GC/Win
そして, さらに
・RSを重ねるような中心の候補の集合としての垂直二等分線を作ってみました。
GC/Win
どうも, その交点, つまり回転の中心としての候補は, PR上にあるようにみえます。
四角形を動かして，
・いつもそうなるのか
を確認してみました。
GC/Win
とたんに反例が登場しました。
しかし, 今度の図では, ACと交わっているようにみえます。
ACを追加してみました。
GC/Win
また,
四角形を動かして，
・いつもそうなるのか
を確認してみました。
GC/Win
GC/Win
こんな場合でさえokですから, 信用できそうです。
ところで,
・この交点って, 中点じゃないか。
そう思えました。確認してみましょう。
GC/Win
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ほぼまちがいありません。
これを踏まえると, どう定式化できるでしょう。
ABCDの対角線ACの中点Mを中心に, SQを90°回転させると, PRに重なる。
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それぞれの点に注目すれば,
ABCDの対角線ACの中点Mを中心に,
Sを90°回転させると, Rに重なる。
Qを90°回転させると, Pに重なる。
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しかし, これって, それぞれの点をMと結べば，
ABCDの対角線ACの中点Mとすると,
△SMRは直角二等辺三角形
△PMQは直角二等辺三角形
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つまり, 「系」として導いたこと(「補題」になりうるかなと思ったこと)そのものです。