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4角中点 / 4つの三角形と1つの四角形:凸四角形(
GC World 2 : 探究記録 ,探究記録集 1
)
一般の凸四角形になると,
「A.4つの三角形の面積の和は,四角形 EFGH の面積に等しい」
「B.4つの三角形はすべて合同」
に対して，まず, Aはこれまでの証明は使えなくなる。
しかし,AとDを重ねるようなかなり特殊な場合を作ってみると,Aの結果そのものは成り立つことが分かる。
そして,実は下図のような補助線を入れなおすと,A=Dのような特殊な場合の総体としてこの図を見ることができ,Aは成り立つことになる。
つまり,以前の証明はもうだめなのだが,別の証明を考案することによって,命題そのものは生き続けるのである。
一方,Bはまた変化する。一見なにも成り立たないように見える。
しかし,少し観点を変えたことが成り立つ。
この図の場合で言えば，
「B.ΔAPS + CRQ = ΔBQP + ΔDSR」
となる。これは,上記の証明の別証明を相似な三角形に注目して導くならば,関連事項になる。つまり,
ΔAPS = (1/4)ΔABS, ΔCRQ = (1/4)ΔCDB
と考えるならば,この二つを加えて
ΔAPS + ΔCDB = (1/2)□ABCD
となるからだ。
反対側も同様に考えることができる。
とまあ,こういう当たりまでの流れを即興で作り出すことによって,長野県総合教育センターでの「4つの三角形と一つの四角形」という気づきにそれなりに流れと結論を作ることができた。
GC/Win
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