外心の教材化

愛知教育大学　数学教室
飯島康之

はじめに

この問題は,「問題の出し方を工夫する」ための適切な問題の一つだと思います。
それを目的として,熊本大学での集中講義でも,一つの課題としてみました。その結果は, こちらにあります。それも交えながら,まとめ直してみます。

問題状況

三角形の3つの辺のそれぞれの垂直二等分線を引くと,一点で交わる。

基本的な数学的性質・内容

三角形の3つの辺のそれぞれの垂直二等分線を引くと,一点で交わる(共点性)
PA = PB = PC となる点(条件を満たす点の集合)
3点 A,B,C を通る円は一意的に決まる

教科書等での扱い

「三角形の3つの辺のそれぞれの垂直二等分線を引くと,一点で交わる(共点性)」に関連して

定義に則した図を書かせる
- 「三角形の3つの辺のそれぞれの垂直二等分線を引き観察せよ。」
定義を拡張してみる
- 「4,5角形に外心はあるか」
- 多角形のそれぞれの辺に垂直二等分線を引いてみる。一点で交わることはあるか,そうでなければ,どうなるか。
一点を動かしてみる
- 三角形の形状と外心の位置の関係
- 外心の軌跡
- 元の問題の条件を減らして軌跡の問題をつくる。
  「三角形ABCの2つの辺,AB,ACのそれぞれの垂直二等分線を引き,交点をDとする。点Aを自由に動かしたとき,交点Dの動きはどうなるか。また,この現象は何を意味するか。」

「PA = PB = PC となる点(条件を満たす点の集合)」に関連して

条件を満たす点を求める
- 「PA = PB = PCとなる点を求めなさい。」
- (1) 測定機能なし (ちょっと手が出ない)
- (2) 測定機能あり,ランダムに行うとなかなか見つからないので,まずは2つの条件のみを揃える (垂直二等分線が得られる)方略を取ることになる。
- (3) Pを中心としてAを通る円を作図し,それがB,Cを通るように動かす。
- (4) 3つの点を中心とする半径 x の円を作図し, xを変化させる。

「3点 A,B,C を通る円」に関連して

そういう円を作ってみよう
- 点 A を通り,動点 P を中心とする円を作図し,点 P を動かしてみる。
- 点 A, B を通る円の集合を調べてみる。
「3つの円」がたまたま一点で交わっていると解釈
- 「3つの点を中心とする同一半径の3つの円」を作図し,

「現実の問題」の観点