4角角2分

愛知教育大学　数学教室

飯島康之

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問題状況

ABCDが平行四辺形の場合について調べてみると

(1995年か1996年の)愛教大の3年生の授業で,池田君,宇佐美君たちが,次のようなことにこだわり,面白いことを発見しました。そして,それを出発点にすると,次のようなことが分かりました

• ABCDが平行四辺形のままで変形すると,EFGHとABCDが接するときは,E,GがそれぞれAD,BCの中点になりそう
  

  
  

• 接しない場合でも,直線EGとABCDとの交点を調べると,AD,BCの中点になりそう(4点に共線性がある)

  
  

  
  

• この共線性はABCDが台形等になるとくずれてしまう

  
  

• だが,AB,CDを延長してみると,直線EGとAB,CDは一点で交わる(共点性)ことがわかる

  
  

• この交点をPとすると,GはΔPADの傍心,EはΔPBCの内心であり,∠Pの二等分線上にあることが分かる。(だから共点性が成立する)

  
  

• 逆に考えると,池田君たちが注目した事実は,Pが無限遠点になったとき, AB//CDになると同時に, ∠Pの二等分線の極限としてのEGが残っていることを示している。だからこそ,AB//CD//EGであり,二つの点から等しい距離にある点の集合であるから,AD,BCの中点を通るのである。