「基礎」に戻って,3角形の面積の変化とその組み合わせについて考える

元の問題状況

四角形ABCDと動点 P がある。
S1=ΔPAB+ΔPCD
S2=ΔPBC+ΔPDA
とするとき,S1=S2となるような点 P の位置を調べたい。
どんな四角形のときに,どんな結果になるか。

はじめに : 一般の四角形について考察するのは大変

• 段階を追って,「予想→実験による検証」を繰り返す
  • ABCDが長方形のとき,どうなる。
  • ABCDが平行四辺形のとき,どうなる。
  • ABCDが台形のとき,どうなる。
  • ABCDが一般の四角形のとき,どうなる。

  このような思考をするときに,最後の一般化が非常に困難である。
  そこで,「基礎に戻ってみる」という発想をもし取ってみると,どういう探究が可能か,それが,ここでの取り組みである。
  

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  三角形とその面積

  

  まず,この図を動かしてみると,当たり前のことですが,分かることとしては,

  • 水平に動かすと,面積は変わらない
  • 垂直に動かすと,面積は変わる

  ということが分かります。特に,垂直の場合には,比例になるというのは,小学校でも扱っていることです。
  

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  では,「斜め」に動かすと,どうなるのでしょう。
  斜めに動かすように,頂点が通過すべき場所を追加してみました。
  

  

  この直線DE上を点Aが動くとき,面積の変化はどういう関数で表されるでしょう。
  

  結論 : 何らかの一次関数である。
  

  これは,証明しなければならない事実ですが(簡単に証明できますが), このことだけからも,重要な事実が導かれます。
  

  補題 : 一次関数と一次関数の和は一次関数である
  

  系1 : 平面内に頂点を共有する二つの三角形があり,その共有する頂点をある直線上で移動すると,その面積の和は,一次関数で表される。したがって,移動する直線の方向を決定すると,「単調増加」,「一定」,「単調減少」のいずれかになる。
  

  系2 : 平面内に頂点を共有するｎ個の三角形があり,その共有する頂点をある直線上で移動すると,その面積の和は,一次関数で表される。したがって,移動する直線の方向を決定すると,「単調増加」,「一定」,「単調減少」のいずれかになる。
  

  系3 : 平面内に頂点を共有するｎ個の三角形に対して,ある2点における面積の和の値が等しければ,その2点を通る直線上を移動すると,面積の和が一定になる(領域全体の場合もある)
  

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  また,この一次関数をきちんと明示しようとすれば, 底辺とその直線のなす角 θ を使って表示することが可能になります。しかし, 二つ以上の三角形を考える場合, 平行・垂直以外の場合には, それぞれの底辺とのなす角は無関係になるので, 式が複雑になるだけということもできます。
  

  さらにきちんと考察してみたい方は,ぜひなさってみてください。
  そして,その記録等を,WWWなどでまとめていただけると幸いです。(もちろん,リンクをはりますよ。)