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応用数学Ｉ・II 1995.6.13
９．関数のグラフを描こう 飯島
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９−０．はじめに
先週の自習のとき，ワークステーションの不調から，インターネットがうまく使えなか
ったようです。残念でした。またの機会に，インターネットは楽しむこととしましょう。
また，試験の内容については，いかがでしたか。解答例（プログラム）は今回の末尾に添
付しますし，またインターネット上にも掲載しますから，参考にしてください。
さて，今回からは，「グラフィック」を扱います。数学的に「こういうことをやりたい
」ということの理解と実行を中心にし，「プログラミングとしての基礎的なこと」は多少
後回しにする部分もでてきますが，とにかく，数学的な実験を楽しみましょう。
９−１ 座標
コンピュータは「紙」とは違って，有限の点の集まりです。ですから，厳密に言うと，
横６４０，縦４８０（９８などは６４０×４００）のマス目に色を塗るだけのことしかで
きません。しかし，ＴＶも同じように有限の点しかありませんが，あれを見ることで，「
これは花だ」と分かったり，野球中継を見て興奮できるように，「アバウトでいいや」と
思えば，結構いろいろなことをさせることができます。
(1) 点を描く
SCREEN 12 ← これはグラフィックモードの宣言。
FOR x = 0 to 639
FOR y = 0 to 479
PSET (x, y)
NEXT
NEXT
これが一番元になっている「点」を，元の座標でプロットする方法です。（この点のこと
を，ピクセルと言います。）
元々の座標はこのことからも分かるように，
(0,0) ＋−−−−＋(639,0)
｜ ｜
(0,479)＋−−−−＋(639,479)
となっています。この座標はいかにもコンピュータ的で，人間的ではありません。
特に，数学で使うならば，
(-15,10) ＋−−−−＋(15,10)
｜ ｜
(-15,-10)＋−−−−＋(15,-10)
のような感じで，通常の座標のように使いたいものです。そのようにするためには，
(2) 数学らしい座標の取り方
SCREEN 12
WINDOW (-15,10)-(15,-10) ←これがそのための宣言
FOR x = -15 to 15
FOR y = -10 to 10
PSET (x,y)
NEXT
NEXT
としてみましょう。また，以下のプログラムはどういう工夫をしているのでしょう。
下線部の役割を考えてください。
(3)
SCREEN 12
WINDOW (-15,10)-(15,-10)
FOR x = -15 to 15 STEP .1
FOR y = -10 to 10 STEP .1
PSET (x,y)
NEXT
NEXT
また，下線部の 0.1 を他の値に変えてみましょう。どういう変化があるでしょう。
(4)
SCREEN 12
MaxOfX = 15
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
WINDOW (-MaxOfX,MaxOfY) - (MaxOfX, - MaxOfY)
FOR x = -15 to 15 STEP .1
FOR y = -10 to 10 STEP .1
PSET (x,y)
NEXT
NEXT
また，下線部の「15」という値を変えてみましょう。どういう変化があるでしょう。また
，(3) と比較して，どういう点が便利でしょう。
(5)
SCREEN 12
INPUT "Max of x "; MaxOfX
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
WINDOW (-MaxOfX,MaxOfY) - (MaxOfX, - MaxOfY)
FOR x = -15 to 15 STEP .1
FOR y = -10 to 10 STEP .1
PSET (x,y)
NEXT
NEXT
実際に，MaxOfXの値を，いろいろと入力してみましょう。(4) のプログラムと比べて，
どういう点が便利でしょう。
９−２ 関数のグラフを描こう
関数のグラフはコンピュータを使うと迅速かつ正確に描くことができます。
まずは，次のプログラムを入力してみましょう。
(1)
SCREEN 12
INPUT "Max of x "; MaxOfX
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
dp = MaxOfX / 640 / 2
WINDOW (-MaxOfX,MaxOfY) - (MaxOfX, - MaxOfY)
FOR x = -15 to 15 STEP dp
y = x ＾ 2 + 2 * x - 5
PSET (x,y)
NEXT
NEXT
どんな関数のグラフでしょう。関数を変えるには，どこを変えたらいいか分かりますか
。また，関数の描画の基本はこれでいいのですが，しかし，これでは愛想がないですね。
次の工夫をしてみます。どのような点に改良点があるのかを読み取ってください。
(2)
SCREEN 12
MaxOfX = 15
DO
CLS
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
dp = MaxOfX / 640 / 2
WINDOW (-MaxOfX, MaxOfY)-(MaxOfX, -MaxOfY)
LINE (-MaxOfX, 0)-(MaxOfX, 0)
FOR i = -INT(MaxOfX) TO INT(MaxOfX)
LINE (i, 10 * dp)-(i, -10 * dp)
NEXT
LINE (0, -MaxOfY)-(0, MaxOfY)
FOR i = -INT(MaxOfY) TO INT(MaxOfY)
LINE (10 * dp, i)-(-10 * dp, i)
NEXT
FOR x = -MaxOfX TO MaxOfX STEP dp
y = x * x + 2 * x - 5
IF ABS(y) < MaxOfY THEN PSET (x, y)
NEXT
INPUT "Max of x ( 0 -> end)"; MaxOfX
LOOP UNTIL MaxOfX <= 0
９−３ 練習問題
次の関数のグラフを描いてみましょう。そして，その概形をスケッチしましょう。
(1) x ＾ 3 + 5 * x ＾ 2 + 2 * x - 5 (2) x ＾ 3 + 7 * x ＾ 2 + 2 * x - 5
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−− −−−−−−−−＋−−−−−−−−
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
(3) y = sin(x)
(4) IF x = 0 then y = 0 ELSE y = sin (1 / x) ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−− −−−−−−−−＋−−−−−−−−
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｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
(5) IF x = 0 then y = 0 ELSE y = x * sin (1 / x)
(6) IF x = 0 then y = 0 ELSE y = sin (1 / x) / x ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−− −−−−−−−−＋−−−−−−−−
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
(7) y = sin ( x ＾2) (8) y = sin (x) ＾2
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−− −−−−−−−−＋−−−−−−−−
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
(9) y = sin ( x) ＾3 (10) y = sin ( 7 * x) + sin ( 8 * x)
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−− −−−−−−−−＋−−−−−−−−
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
(11) y = exp ( -x ＾2)
(12) IF x = 0 THEN y = 0 ELSE y = x ＾2 + 1 / x
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−− −−−−−−−−＋−−−−−−−−
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
(13) IF x = 0 THEN y = 0 ELSE y = x ＾2 + 1 / x ＾2
(14) IF x ＾2 - 1 = 0 THEN y = 0 ELSE y = x ＾ 3 / (x ＾2 - 1)
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−− −−−−−−−−＋−−−−−−−−
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
｜ ｜
９−４ 点，線，円
次のプログラムを入力し，点，線，円の簡単な文法を調べてください。なお，この部分は
，必ずしも数学のプログラミングに不可欠というわけではないので，時間の都合によって
は，授業中では扱わないかもしれません。グラフィックスのプログラミングに関心がある
人は，自分なりに作業して理解してください。
(1) 点
SCREEN 12
MaxOfX = 15
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
WINDOW (-MaxOfX,MaxOfY) - (MaxOfX, - MaxOfY)
DO
clr = clr MOD 7 + 1
INPUT "x, y =";x,y
PSET (x , y),clr
IF x = 0 AND y = 0 THEN END
LOOP
(2) 円
SCREEN 12
MaxOfX = 15
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
WINDOW (-MaxOfX,MaxOfY) - (MaxOfX, - MaxOfY)
DO
INPUT "x, y =";x,y
INPUT "r =";r
CIRCLE (x , y), r
IF x = 0 AND y = 0 THEN END
LOOP
(3) 線分
SCREEN 12
MaxOfX = 15
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
WINDOW (-MaxOfX,MaxOfY) - (MaxOfX, - MaxOfY)
DO
clr = clr MOD 7 + 1
INPUT "Start : x, y =";x1,y1
IF x1= 0 AND y1= 0 THEN END
INPUT "End : x, y =";x2,y2
LINE (x1, y1)- (X2,Y2),clr
LOOP
(4) ？（１）
SCREEN 12
MaxOfX = 15
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
WINDOW (-MaxOfX,MaxOfY) - (MaxOfX, - MaxOfY)
DO
clr = clr + 1
INPUT "Start : x, y =";x1,y1
IF x1= 0 AND y1= 0 THEN END
INPUT "End : x, y =";x2,y2
LINE (x1, y1)- (X2,Y2),clr,B
LOOP
(5) ？（２）
SCREEN 12
MaxOfX = 15
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
WINDOW (-MaxOfX,MaxOfY) - (MaxOfX, - MaxOfY)
DO
clr = clr + 1
INPUT "Start : x, y =";x1,y1
IF x1= 0 AND y1= 0 THEN END
INPUT "End : x, y =";x2,y2
LINE (x1, y1)- (X2,Y2),clr,BF
LOOP
(6) ？（３）
SCREEN 12
MaxOfX = 15
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
WINDOW (-MaxOfX,MaxOfY) - (MaxOfX, - MaxOfY)
DO
clr = clr + 1
INPUT "Start : x, y =";x1,y1
IF x1= 0 AND y1= 0 THEN END
INPUT "End : x, y =";x2,y2
LINE (x1, y1)- (X2,Y2),clr, ,&H707
LOOP
(7) ？（４）
SCREEN 12
MaxOfX = 15
MaxOfY = MaxOfX * 480 / 640
WINDOW (-MaxOfX,MaxOfY) - (MaxOfX, - MaxOfY)
DO
INPUT " x, y =";x,y
IF x= 0 AND y= 0 THEN END
LINE -(X,Y)
LOOP
９−５ 試験の解答
解答のためのプログラムの例です。正解は，実際に動かして確かめてください。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ n ｜
｜１．Σ ｋ が 10000より大きくなるのは ｎ＝ のときである。 ｜
｜ k=1 ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
CLS
FOR K = 1 TO 10000
SUM = SUM + K
PRINT K; SUM
IF SUM > 10000 THEN EXIT FOR
NEXT
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ n ｜
｜２．Σ １／ｋ が 5 より大きくなるのは，ｎ＝ のときである。 ｜
｜ k=1 ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
CLS
FOR K = 1 TO 10000
SUM = SUM + 1 / K
PRINT K; SUM
IF SUM > 5 THEN EXIT FOR
NEXT
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ 10000 2 ｜
｜３．Σ １／ｋ ＝ ｜
｜ k=1 ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
CLS
FOR k = 1 TO 10000
SUM = SUM + 1 / (k * k)
PRINT k; SUM
IF SUM > 5 THEN EXIT FOR
NEXT
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜４．１から１００までの数について，約数の個数について調べたい。 ｜
｜ （１）約数の個数が奇数となるものを列挙し，それらの数の特徴をいいなさい。 ｜
｜ ｜
｜ （２）約数の個数が最も大きなものは， である。 ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
CLS
FOR n = 1 TO 100
Yaku = 0
FOR i = 1 TO n
IF n MOD i = 0 THEN Yaku = Yaku + 1
NEXT
PRINT n; Yaku,
NEXT
まとめて表示するには
CLS
num = 100
DIM Yaku(num)
Max = 0
FOR n = 1 TO num
Yaku(n) = 0
FOR i = 1 TO n
IF n MOD i = 0 THEN Yaku(n) = Yaku(n) + 1
NEXT
PRINT n; Yaku(n),
IF Max < Yaku(n) THEN Max = Yaku(n)
NEXT
FOR x = 1 TO Max
PRINT
PRINT x; ":";
FOR n = 1 TO num
IF Yaku(n) = x THEN PRINT n;
NEXT
NEXT
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜ 2 2 2 2 ｜
｜５．ａ ＋ｂ ＝ｃ ＋ｄ となるａ，ｂ，ｃ，ｄの組で，互いに素なものを３つ｜
｜以上見つけなさい。（それぞれ正の整数とする。） ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
CLS
INPUT "Last"; Last
FOR i = 1 TO Last
FOR j = i + 1 TO Last
FOR k = i + 1 TO Last
L2 = i ＾ 2 + j ＾ 2 - k ＾ 2
IF L2 < k ＾ 2 THEN EXIT FOR
l = INT(SQR(L2))
FOR ct = l TO 1 STEP -1
IF i MOD ct = 0 AND j MOD ct = 0 AND k MOD ct = 0 AND l MOD ct =
0 THEN EXIT FOR （前行に続く）
NEXT
IF ct = 1 THEN PRINT i; j, k; l
NEXT
NEXT
NEXT
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜６．ｐ，ｐ＋２が素数の場合，双子素数と言う。１００〜１０００の間の双子素数は｜
｜何組あるか調べなさい。 ｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
CLS
FOR n = 101 TO 1000 STEP 2
check = check + 1
FOR i = 2 TO SQR(n)
IF n MOD i = 0 THEN
check = 0
EXIT FOR
END IF
NEXT
IF check = 2 THEN PRINT n - 2; n,
NEXT
<以上>