関数の概形を調べる

0.はじめに

1.通常の(これまでの)方法

• 導関数を求める。
• 導関数の符号等を求め,増減表を作る。
• 極値や漸近線等を調べる。
• 概形を書く。

この,「増減表」を微分を使って求めるというのは,確かに優れた方法です。たとえば,3次関数の概形を求めるような問題では,きちんと正確に求めることができます。そして,有限の場所を調べることによって,実数全体に関してきちんと調べることができるのです。
しかし,では,果してこの方法は,本当に万全なのでしょうか。

2.通常の(これまでの)方法の問題点

• 「微分」ができなければならない

  当たり前のことですが,まず第一に,与えられた関数の「微分」を行えるだけの力が要求されます。多項式の微分だけならば,それほど難しくはないとも言えますが,概念的な定式化とその理解,他の関数(三角関数等)の微分公式,合成関数や積の微分の公式等も要求すれば,やはりそれなりの時間と労力が不可欠です。

• 「導関数 = 0」の解を求めなければならない

  さらに問題なのは,導関数 = 0 のところが極値を与えるわけですが,一般には,その解は簡単に得られる限らないことです。たとえば,3次関数の場合は,導関数は2次になり,その解は解の公式で「必ず」得ることができます。しかし,6次関数の場合は,5次式となる導関数の解を代数的に得るはもはやできません。
  つまり,高校数学の範囲では,「解ける問題」のみを扱い,それによって,その精神を理解することになりますが,そこで確立されている方法が適用できる範囲は,実はそれほど広い限らないのです。

• 将来使うだろうか

  そして,もう一つの問題は,職業上での必要性等出てきたときに,果してその方法で解決するのだろうかという問題です。確かに,そのような概念構築が不可欠な理工系の学生にとっては,基礎的な概念なので,それを学習すること自体が,意味を持ちうるでしょう。しかし,そうでない多くの高校生や大学生にとっては,本当に必要不可欠なのかどうかは,疑義が残ります。そして,可能性としては,将来も使えるような道具(コンピュータ)を使った方法を,その学習でも使ってみる方法がありえます。(上記の議論は,必ずしも,現行の方法を否定しているわけではありません。単に,別の「可能性」も存在することを指摘しているだけのことです。)

3.新たな方法の可能性

ここでは,次の方法を想定しています。

• 表計算ソフト(Excelなど)

  基本的に,データの「表」を基にして,点(x,y)を数多くプロットし,「散布図」を作ることを支援してくれます。グラフの定義域や値域は自動的に認識され,すべてがグラフ内に納まるように,座標を自動設定してくれます。それは「小さな親切」であるだけでなく,「大きなお世話」になる場合もありえます。そのため,

  • 「定義域の設定」
  • 「xの幅(Δx)の設定」
  • 「適切でないデータの除去」
  • 「必要に応じて導関数のグラフの追加」

  が基本的な方略となります。

• 関数描画ソフト

  ここで想定しているのは,こちらのソフトです。つまり,
  

  • 式を入力することができる
  • 定義域を指定することができる。
  • 値域は,定義域に連動して,決定され,関数には無関係である。
  という特徴があります。表計算ソフトの場合と違って,表示されている範囲グラフはみ出てしまっている危険性もありえます。そのため,
  • 「定義域の設定」
  • 「値域のスケールの設定」
  • 「xの幅(Δx)の設定」
  • 「必要に応じて導関数のグラフの追加」

  が基本的な方略となります。

• 数式処理システム

4.概形を調べるための着眼点