6/4のレポート
Subject: 数学教育方法論I課題
From: Shigeya Sasane ( 笹根 成哉 ) <sm98070@auecc.aichi-edu.ac.jp>
Date: Wed, 03 Jun 1998 20:02:43 +0900
Original-sender: "Shigeya Sasane" <sasane@auecc.aichi-edu.ac.jp>
Sender: iijima-report-request@math-ntserver.auemath.aichi-edu.ac.jp
----Next_Part(Wed_Jun__3_19:43:24_1998_250)--
笹根＠情報です。
6月3日の時点で、講義ノートをチェックしたので、
指摘の点を追加して提出します。
来週は、学会参加のため、休むのはもちろん、
これで来週分の課題にしたくお願いします。
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| Shigeya Sasane |
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| Aichi University of Education |
| Department of Information and Computer Science |
| |
| E-Mail sm98070@auecc.aichi-edu.ac.jp |
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まず、簡単な事例と言うことで、数学教育ではありませんが、
数学を用いた事例として、彗星の軌道計算をExcelで行いました。
一応、軌道計算した結果とそのワークシートを添付します。
(1)添付の計算結果をみれば、これを通常の数学では、解析は不可能に近い。
大学教育で、複雑で直観的に理解することが難しい問題には、
てっ取り早くコンピュータ計算させるのが良いと言う場合の、
一つの例と考える。
(2)さて、数学上で最低限必要なことは、
「コンピュータ計算する際の、積分等の数値計算法の知識」
が必要となります。
ただし、Excelではルンゲクッタ法等の微分方程式の解法は、
あまりに手間がかかりすぎるので、
オイラー法等のは誤差が大きいが、簡単に実現できる手法での
適用に限定される。
しかし、Excelによるシミュレートは、
厳密な計算が目的ではなく、あくまで大まかな振舞を理解するためだけなので、
数値計算法のイロハさえ教育しておけば十分可能と思われる。
Excelのデータ
Date: Thu, 4 Jun 1998 10:48:35 +0900 (JST)
From: Katsumi Sugimoto
To: iijima-report@auemath.aichi-edu.ac.jp
Subject: 数学教育方法論１（アポロニウスの円について） (fwd)
アポロニウスの円についてですが、この問題は高校数学では軌跡の問題の１つにな
っています。現在の高校の教科書では、数学Ａと数学２で扱われています。
そこで、数学Ａと数学２についてアポロニウスの円の問題の解法を比較してみよう
と思います。
まず、軌跡については、数種類の教科書を見ると、次のように記載されています。
「与えられた（ある）条件を満たす点全体の作る図形を（満たす点が動いてできる
図形を）、その条件を満たす点の軌跡という。」
この場合には、動点からの定義と、定点集合からの定義と２つあることが分かりま
す。いずれにしても、点集合による図形が軌跡であるという内容がもとになってい
ると考えられます。つまり、数学Ａでも数学２でも「軌跡の定義」に関する点では
共通であるとも言えます。
次に、アポロニウスの円の問題の「問題解法」という点において見ると、単元内
容により変わっています。
数学Ａについては、平面幾何の一部であるので、
「ある２定点Ａ，Ｂと、他の一点Ｐをとり、三角形ＰＡＢの頂角である角Ｐとそ
の外角の二等分線それぞれと直線ＡＢを交わらせることにより二点Ｃ，Ｄをとる。
すると、三角形ＰＣＤで円周角の定理を用いることによって、ＣＤを直径とする円
周上をＰが動く」ということによりアポロニウスの円が導き出されています。
数学２については、図形と方程式の一部であるので、
「ある２定点Ａ，Ｂの座標を確定し、（置き、）距離比から関係を求め、距離を
数式化することによって新しい関係式を求めて円の方程式が導き出される」ことに
よりアポロニウスの円が導き出されているのです。
現在の状況としては、数学Ａの内容は割愛されることが多く、事実上使われてい
ないことが多く、数式のみで処理されているだけのように見えます。
（数学Ａ：図形の感覚による軌跡 数学２：数式による軌跡）
多様な見方ができるようになれるのが数学の１つの目標ではないかと考えている私
にとっては、少し奇妙なことに感じています。他の皆さんはどのように考えられて
いるのでしょうか。いろいろとお聞きしたいと思います。
Date: Tue, 16 Jun 1998 14:52:52 +0900 (JST)
From: Nobuhiro Watanabe
To: iijima-report@auemath.aichi-edu.ac.jp
Subject: 木曜１限のレポート
「三角三垂線」の話ですが、長さにおいて、３つの垂線の長さが等しくなるのは、
三角形の内心を満たす交点です。 また、２つの垂線の長さ等しくなるときは、
角の二等分線をひき、垂線と交わる交点において直角三角形ができて合同より
いえます。 次に、この三角三垂線から考えられる問題として
（１）三角形の頂点Ａから辺ＢＣに垂線ＡＤをひき、点Ｄから辺ＡＢ，ＡＣに
下ろした垂線の足をＥ，Ｆとしたら、４点Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｅは、同一円周上
にあること。
（２）三角形ＡＢＣの外接円の周上の点Ｐから辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢまたは、
その延長上にひいた垂線の足をＤ，Ｅ，Ｆとしたらこれは、同一直線上に
あり、この線をシムソン線という。
これからもっといろいろなものにＧＣを使って、様々なことを発見できるように
努力したいです。
Ｍ９８０６３ 渡邉 亘宏
Date: Tue, 16 Jun 1998 15:02:40 +0900 (JST)
From: Mamoru Furuhata
To: iijima-report@auemath.aichi-edu.ac.jp
Subject: 数学教育方法論I
３角３垂線について、長さに関して調べました。
正三角形の場合、DE＋DF＋DG＝一定となりその長さはAからBCに下ろした垂線と
なる。また、△ABCの外接円の中心をOとしたとき、１つの垂線、例えばDE上にOが
あるようにしたとき、他の２つの垂線DF、DGの長さが等しくなる。そして、DがOと
一致するとき３つの垂線が等しくなる。
垂線の長さの和に関して発展させて考えたことは、正三角形ABCの外接円上の点Dか
ら直線AB、BC、CAに垂線を下ろすとき、その和が最大になるのは、弧AB、BC、CAの中心が
Dにきた
とき、最小になるのは、DがA、B、Cに重なるときということである。
あと、△ABCの面積が最大になるのはどういうときかなどプリントにあることに
ついては大体結果は得られた。
Date: Tue, 16 Jun 1998 16:34:21 +0900 (JST)
From: Kentaroh Hatano
To: iijima-report@auemath.aichi-edu.ac.jp
Subject: ６／３分課題（３角３垂線）
今回は長さに関して重点的に調べてみることにしました。まず、ＤＥ＝ＤＦ＝Ｄ
Ｇになるのは、点Ｄが三角形ＡＢＣの内接円の中心、つまり内心のときだけでした。
次に、ＤＥ、ＤＦ、ＤＧのうち、２つが等しくなるのは、点Ｄが角Ａ、Ｂ、Ｃの二
等分線上にあるときでした。ＤＥ＝ＤＦ＝ＤＧは、今の特別な場合であり、点Ｄが
二等分線の交点、つまり内心のときであると理解できると思います。点Ｄを動かし
ながら、今述べた事実まで発見するのは難しいかもしれませんが、「ＤＥ＝ＤＦ＝
ＤＧとなる場合がありそう」とか「そうなる点Ｄはただ１点かな」とか「それでは
ＤＥ＝ＤＦとなるのはどんなときか」などということは考えられるのではないかと
思います。
次に、長さの和の最大、最小について調べました。すると、最大、最小になるの
は点Ｄが点Ａ、Ｂ、Ｃに一致するときではないだろうかと予想が立ちました。つま
り、点Ａ、Ｂ、ＣからＢＣ、ＣＡ、ＡＢに垂線をおろしたとき、その長さで、もし
Ａからおろした垂線が最大なら点Ｄが点Ａと一致するとき和は最大、Ｃからおろし
た垂線が最小なら点Ｄが点Ｃと一致するとき和は最小となるのではないかというこ
とです。これを証明、できればＧＣを使えるような幾何的な証明を考えてみたので
すが、気がつきませんでした。ひょっとしたら予想が違うのかもしれません。でも
この問題はけっこう面白そうです。
次に長さの和が等しくなる場合について調べました。条件がかなり厳しいので、
条件の厳しい三角形だと思いましたが、それは正三角形でした。証明は面積を使え
ば容易だと思います。
長さに関して調べましたが、最後にもでてきたようにもう少し面積をからめて考
えるべきだったかと思っています。３角３垂線は問題としてはかなり面白そうない
い問題だと思いました。
Date: Tue, 16 Jun 1998 16:56:35 +0900
From: Rie Yamaguchi
To: iijima-report@auemath.aichi-edu.ac.jp
Subject: 数学教育方法論１レポート６／０４分
まず、３つの垂線の長さが等しくなるときは、角Ａ，Ｂ，Ｃの二
等分線の交点である。つまり内心であるとわかりました。そのと
きの図を考えてみれば，ＡＢ，ＢＣ，ＣＡが円の接線となるので
あっていることがわかります。
２つの垂線の長さが同じときは、その垂線をはさむ角の二等分線
上に点Ｄはあることがわかりました。
また長さの和が最大になるときは、辺のなかで一番最小な辺にひ
かれた垂線の長さになると予想ができます。つまり内部の点Ｄは
Ａ，Ｂ，Ｃのうちの上の条件にあてはまるものと一致すると思い
ました。
長さの和が等しくなる場合の三角形の形状は正三角形であると考
えられました。
円をいろいろなところに書く場合についてはできませんでしたが
外接円などを考えてみると面白い結果が得られそうな気がしまし
た。
Date: Tue, 16 Jun 1998 17:27:55 +0900 (JST)
From: Teruhisa Ogura
To: iijima-report@auemath.aichi-edu.ac.jp
Subject: レポート
Polyaの本が見つかりました.
1.いかにして問題を解くか
2.帰納と類比
3.発見的推論：そのパターン
４．いかにして問題を解くか
５．組み合わせ論入門
６．問題解決の理解・学習・教授
７．数学の問題の発見的解き方
以上７冊です． 小倉輝久
Date: Tue, 16 Jun 1998 18:12:17 +0900 (JST)
From: Shingo Nakano
Subject: ３角３垂線についての考察
Sender: iijima-report-request@math-ntserver.auemath.aichi-edu.ac.jp
Dから線分AB,BC,CAに引いたものが垂線であることから、角EDF,FDG,GDEの角度は、
点Dを三角形ABC内で移動させるうちは、一定である。
そして、四角形AEDG,BFDE,CGDFの、向かい合う一組の角は、互いに直角であるの
で、これら３つの四角形は、円に内接する(外接円をかける)。
ここで、線分AD,BD,CDはそれぞれ、四角形AEDG,BFDE,CGDFの直径となるので、３
つの外接円の面積は、(線分の長さ/2)^2に比例し、線分の長さが等しくなるとき、
外接円の面積も等しい。
気付いたことの羅列になってしまい、申し訳ありません。
From: "TOYODA"
Subject: ６／３の宿題のレポート
Date: Wed, 17 Jun 1998 17:56:45 +0900
Sender: iijima-report-request@math-ntserver.auemath.aichi-edu.ac.jp
Ｍ９８０６１ 豊田雅樹
６／３のプリントをコピーしたところ、しっかり催促されていました。
「ソフトの種類」に関する資料の英訳（？）について、レポートします。
「ソフトの種類」
１．コンピューター・ゲーム
２．ＣＡＩ
３．コンピューター・シュミレーションとミクロワールド
４．ツールとしてのコンピューター・・・特殊と一般
５．ツール・メーカーとしてのコンピューター（中間製作者）
上のものが、資料の中での種類分けでした。これらについて、少し書いてみようと
思います。（的外れでしたらごめんなさい）
「１．コンピューター・ゲーム」について
これは、いわゆるゲームを指しているのではなく、その使い方にゲーム的要素
が強いものだとおもわれます。単元の最初の動機付けに使ったり、また、繰り返し
行うことで、より一般的な問題解決の方法を見つけだしたりするもので、こどもか
らすると、勉強しているというよりも、遊んでいるのに近い感覚のものではないか
、と思います。
「２．ＣＡＩ」について
これは、家庭教師のコンピューター版で、ある決められたプログラムに従って
、コンピューターが学習を進めていくものです。たとえば、最初にある問題が表示
される。それを解いて答えを入力すると、それがあっていれば次の問題へ、間違っ
ていれば、解説とその類題や、必要な知識に関することがらが出てくる、これを繰
り返して流れていくもです。自分も、塾においてあるのを見たことがありますが、
どうも、パターンにはまりすぎていて、それを扱う対象に対して幅がない、という
ようなことを感じました。
「３．コンピューター・シュミレーションとミクロワールド」
ミクロワールドといわれると正直ピンと来ません。ただ、シュミレーションと
いう言葉ならよく耳にすると思います。１つとしては、いろいろと条件（数値など
）を変えて、試行していくうちに、何かある法則を見つける、ということがあり、
また１つには、その法則が実際に正しいのか、修正すべき所はどこなのか、という
ことをシュミレーションの中で探す、ということがあるのではないでしょうか。
４．ツールとしてのコンピューター・・・特殊と一般
これは授業の中でも扱ったように思うのですが、特殊の場合は、その問題にだ
け使えるプログラム、で、一般の場合はより広範にわたって使えるプログラムを指
しているように思います。今までの流れから言っても、後者の方が「ツール」なん
でしょうね。
５．ツール・メーカーとしてのコンピューター（中間製作者）
これは、そのまま読めば、プログラムを作るためのコンピューターという意味
にもとれます。そういう意味もあるのかもしれませんが、他にも、ある教材に対す
る情報収集のための道具（媒体）という意味もあるのではないか、と思います。
かなり当てずっぽうなところもあるかと思いますが、大目に見てください。はっき
り言って英文はよくわかりませんでした。