0.本稿の目的
三角形の「外心」についての性質を発見できるような展開例を考える.1.展開例
授業の目的:
三角形の外心が各辺の垂直二等分線の交点であることを確認し,さらに, その拡張として,外心,三角形の頂点,辺の二等分線から成る図形につ いて考える.そして,それぞれが,円に内接する四角形,または三角形 になっていることを調べ,それらの外接円が外心で交わっていることを 確認する. ここでは,展開例を発問「」に沿って考えてみる. (1)「直角三角形ABC(∠ACBが直角)において,辺ABを直径とするような円を考 えよう.次に,円の中心をOとし,辺AC,BCに中点P,Qを取り,それぞれを 中心Oと結んでみよう.」 (2)「ここで,四角形が出来ていますね(四角形CPOQ).これは,どんな四角形で すか?」 →四角形CPOQは長方形である.ここで線分OP,OQがそれぞれ,辺AC,BC の垂直二等分線になっていることを確認する. (3)「次に,点Aを動かしてみよう.次に辺ABの中点をとって下さい.これを点Rと しましょう.」 ここで,次の二つの場合が考えられる.それは,三角形ABCが鋭角三角形と鈍角三角形 になるという場合である.それぞれについて見ていこう. 3-1.三角形ABCが鋭角三角形の場合 「ここで,中心Oと点Rを結んで線分ORを作ろう.」 「この図から,どんなことに気付くだろうか?」→∠ARO,∠CQO,∠CPOが直角 「つまり,円の中心Oは,それぞれの三角形の辺の垂直二等分線の交点になってい ますね.」 「では,もう少し別のことについて調べてみよう.」 「四角形CPOQはどんな四角形になっていますか.」→円に内接する四角形 「同様に四角形PARO,四角形RBQOについてはどうでしょう.」 →円に内接する四角形 「では,それぞれの四角形に外接する円を書いてみよう.」 「どんなこことに気付きましたか?」→三つの円の交点が中心Oと一致する! 3-2.三角形ABCが鈍角三角形の場合(展開は 3-1. とほぼ同じ) 「ここで,中心Oと点Rを結んで線分ORを作ろう.」 「この図から,どんなことに気付くだろうか?」→∠ARO,∠CQO,∠CPOが直角 「つまり,円の中心Oは,それぞれの三角形辺の垂直二等分線の交点になっていま すね.」 「では,もう少し,別のことについて調べてみよう.」 「四角形CPOQはどんな四角形になっていますか.」→円に内接する四角形 「三角形AOR,三角形BORはどんな三角形になっているでしょう.」 →円に内接する三角形 「では,それぞれの四角形,三角形に内接する円を書いてみましょう.」 「どんなことに気付きましたか?」→三つの円の交点が点Oと一致する! 「では,最初に考えた図ではどうでしょう?それぞれの四角形,三角形に外接す る円を書いてみましょう.」 →三つの円は,外接円の中心Oで三つの円が交わっている! (4)「では,今日のまとめをしましょう.三角形に外接する円のことを外接円といい, その円の中心を外心といいます.外心は,三角形のそれぞれの辺の垂直二等分線 の交点になっています.今日は,この外心と三角形のそれぞれの頂点を直径とす る円が外心で交わっているということを学習しました.このほか三角形の外心に は色々な性質があるかもしれませんね.」2.まとめ
本稿では,外心,三角形の頂点,辺の中点とを結んで出来る図形についての展開例を考 えてみました.その性質をまとめると次のようになります. 内接三角形が, 直角三角形の場合 外心,三角形の頂点,辺の中点とを結んで出来る図形は,長方形一つ,直角三角形 二つ 鋭角三角形の場合 外心,三角形の頂点,辺の中点とを結んで出来る図形は,円に内接する四角形三つ 鈍角三角形の場合 外心,三角形の頂点,辺の中点とを結んで出来る図形は,円に内接する四角形一つ, 直角三角形一つ となります.どの場合も円に内接する四角形,または三角形が出来ます.作者より
M2の藤田です.浅学な私が作者などともったいぶった言い方でいいのでしょうか? さ て,本稿の内容ですが,最初考えていたものがおもしろくない!と言われ,自分が考えて いたものとはかなり違ったものになってしまいました.この展開では,外心,三角形の頂 点,辺の中点とを結んで出来る図形は,いつも円に内接する図形になっているというとこ ろが面白いと思いますが.図がないと少しわかりにくいかもしれません. 今回の集中講義で,GCを初めてまともに使ってみました.今までは,自分のMacでスケ ッチパッドで色々遊んでおりましたが,今回の集中講義で,それぞれのソフトにそれぞれ の特徴があるのだなあということを実感しました.(こっち(GC)にはできて,こっち( スケッチパッド)にはできない,ということあったりしました.勿論逆も.)