シムソンの定理に関連して(1)

問題状況

ΔABCとその外接円 O がある。円 O 上の点 P から三角形のそれぞれの辺 AB,BC,CA あるいはその延長線上に下ろした垂線の足を D,E,F とするとき,この 3 点は一直線上にある。
この直線を シムソン線と言う。

飯島の探究記録

• 事実の確認

  まず,三輪先生に上記のお手紙をいただき,早速,作図して動かしてみて,確かめてみた。
  「そういう観点で考えたことがなかった」
  というのが,率直なところであり,
  「なるほど」
  と思った次第である。
  しかし,感心だけしていてもいけないので,「証明」への手がかりを探してみた。
  

• ある補助線の追加

  まず,上の図のような場合には,「F」はAC上にあると思っても,それほど間違いではない。DとEとの挙動を考えてみることにした。
  すると,
  「D(E)がAB(BC)上になるような境界はどこだろう」
  ということを意識した。Pから垂線を下ろすのだから,その垂線がA(C)を通るときが境界である。つまり,次のような図を作った。
  
  この図は,よくよく考えれば,当たり前のことなのだが,とても興味深い図である。
  なにしろ,二つの補助線が円上で一点で交わっている。
  

  そして,この図が意味するのは,

  • 点 P が左側の弧上にあるときは E のみ,
  • 点 P が右側の弧上にあるときは D のみ,
  • 点 P が交点と一致するときは A,Cと D,E が重なるとき
  ということである。
  すると,次には,Pが上の図のようなとき(FがいつもAC上にあるように思える)以外も考慮すると,どういうことが言えるのかということだ。
  

• 「DがAB上に来るような領域」等の明示

  まず,発想をちょっと変えてみた。
  「DがAB上に来るような領域」
  と
  「EがBC上に来るような領域」
  とを明示することにした。これは簡単で,垂線を二つ加えればいい。
  
  

  そして,さらに
  「FがAC上に来るような領域」
  を追加すると,次のようになる。
  

  

  この結果を見ると,次の3点では,垂線の足が頂点と一致し,それ以外の場所では,2点が辺上に,それ以外が辺の外になるということが分かる。
  

  

• 三角形の形を変える

  最後の図について,鋭角三角形,直角三角形,鈍角三角形の場合について比較すると,次のようになる。
  

  鋭角三角形		上記で検討
  直角三角形		「緑」は常に。「青&赤」がなくなる
  鈍角三角形		あれ!?

  
  鈍角三角形について,もう少し特殊な場合を使って分析してみた。
  次のように,どれも辺上に乗らないことがある。
  
  

  図示すると,
  

  

• 気づいた事実

  上記では,厳密な証明はしていないが,ほぼこの問題に対する結論は分かったと言っていいと思う。私にとって,意外と思った事実は,
  

  垂線の足が「1つだけが」辺上にあり,他の2つが辺の延長線上に来るということは「ない」

  ということだった。