軌跡を使って写像を調べる

概要

たとえば,次のような図ができます。

この図は,どう考えるといいでしょうか。

ここで,次のように考えてみます。
この図の中では,

φ : R²→R²(直線 BC に関する線対称移動)

があり, φ(A) = D となっている。
ここで, A がある図形 C 上を動いたときに,その像 φ(A)=D の軌跡は, φ(C) となり,その図形をこの写像 φ で移した像を観察していることになる。

つまり,どのような作図であれ, 点A を動かすときに変化する点 φ(A)がある場合には, Aをある図形上を動かしたときの像 φ(A)を調べるということが写像 φ の性質を調べることに結びついているわけです。

(1) 縮小中点などを使う解答例
(2) 拡大「外分」あるい「2点からの延長」はなどを使う解答例
(3) 60°回転「回転」を使ってもいいが,「正三角形」を使う手もある。解答例
(4) 点対称解答例
(5) 線対称解答例

(1) 鏡映線対称を使う
(2) 回転回転を使う 2つの鏡映の合成
(3) 平行移動 2つの鏡映の合成複素数の「和」を使う手もないわけではない

「1次変換」,「アフィン変換」,「射影変換」について調べるための一つの方法として,「マクロ」でのメニューを用意しました。(GC/Win 1.3.1 以降)

次のような手順で使います。

「新規作成」(必要な点等があれば,必ずしも新規でなくてもいい)
新しい点は作らないままに「Esc」。
メニューから選択
「アフィン変換」場合は,こうなる。
これは,「緑色」の座標系の点 P を「赤色」の座標系に写したらどんな点 Q に移るかを示しています。
あるいは, φ(P1)=Q1, φ(P2)=Q2, φ(P3)=Q3 という条件を満たすアフィン変換 φ(これは一意的に決まる)を示しています。
そのため, P1,P2,P3; Q1,Q2,Q3 の位置を変えたときにどうなるか。P を動かしたとき,あるいは,ある図形上を動かしたときに,その像がどうなるか。どんな性質や不変量は保存されるか,されないかを調べることになります。