3角形を折る

紙でできたΔABCがある。頂点AをBC上に乗せて折る。

(ここでの記録は,98年公開講座と小浜での講座(98.9.17)での探究等を元に記述しました。 )

特殊な場合での結果

ΔABCが正三角形の場合,Dがどのような場所にあっても,下の二つの三角形が相似になります。

このことにこだわると,「そうでないときにも相似になるようなことはあるだろうか」という問いが発生します。

しかし,今回は,そう簡単には相似になりません。角度の対応を考えてみると,正三角形の場合とはかなり違うことが分かります。そして,「平行線の同位角」になるような場合でないとうまくいかないことが分かります。

たとえば，ＡＢ／／ＦＤになるということが，必要条件となります。
そういう場合はありうるのか，何通りくらいあるのかを調べてみようと思いつつ，点Ｄを動かしてみると，次のような画面になります。

このように,二つの線分のなす角が次第に変化していく様子を観察すると,平行になる場合は,「一つは必ず」そして,「一つだけ」あることが分かります。

しかし,条件を満たすためには,ＡＢ／／ＦＤ「だけ」ではだめです。同時にＡＣ／／ＥＤも成立しなければなりません。
上の図から観察すると，どうもうまく行っているように思えるのですけど，よくわかりません。ここで，次の証明問題が生まれることになります。

問題：AB//FDになるとき,AC//EDになるか。なるならば証明せよ。
小浜の講座で,私がもたもたしていたら,次のようになると,ご指摘を受けました。

一般の場合でも,紙を折っているという条件から,上の図のような角がそれぞれ等しい。

そして,AB//FDになると,錯角が等しくなるので,上記の角が等しくなる。
この二つから,4つの角がすべて等しくなり,逆る錯角が等しいことから,AC//EDが言える。

今までのことから，AB//FDになるようにすればいいことが分かりました。そして,そのような場所は1箇所しかないことも分かりました。しかし,さて,「どこにとったらいいのでしょうか。

ところで，図をよく観察すると，どうも，ただの平行四辺形とは言えません。
実際，「折っている」のだから，上と下の対応する辺，つまり隣合う辺の長さが等しいことになります。そして，平行四辺形の対辺の長さが等しいということは，この場合には，ひし形になることりなります。

出来上がるのがひし形だとすると，左右対称になるので，∠Ａの二等分線を引くと，次の図のような形で，Ｄの位置が決まります。

上記の結果が分かると,実は,折り紙だととても簡単に折れることが分かります。
ということは,紙を使って調べる方が適切だったのだろうか....?
(でも,紙を降りながら,すぐに解答を見つける方はほとんどいません。)