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｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　Ｇ　Ｃ　通　信　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜                           Vol.3 / No.2 / 96.6.8                            ｜
｜　　　−愛知教育大学公開講座「コンピュータで図形の授業を変えよう」−　　　　｜
｜　　　　　　第二回資料：軌跡の利用とインターネット(WWW) の基本　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　飯　島　康　之　　　　　　　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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｜　　　　　　　　　　　　　　　　　配付資料　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
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　 (1)  講座用のフロッピィディスク (回収します。) 
   (2)  Geometric Constructor データ (公開講座 No.1)
　　　　今日の講座で使ったデータを収録しています (パス名：96公開02.GC4) 
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　　　　　　　次回までの提出課題　　　　　　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋

提出期日：                    　　６　／　３　０
提出方法：(1) 郵便   448  刈谷市井ケ谷町広沢１　愛知教育大学　数学教室　飯島　宛
　　　　　(2) ＦＡＸ　　　０５６６−３６−９６３５　（数学教室）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−４３３７　（数学・理科共通）
　　　　　(3) e-mail      yiijima@auecc.aichi-edu.ac.jp 
  　　　・FAX は９６３５に届く方が具合はいいのですが，送信機種によっては，受け付
　　　　　けないことがあります。その場合には，４３３７に送信してください。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
課題内容：(1) 「軌跡を調べる問題」あるいは，「作図をしてみたい（させてみたい）問
　　　　　　　　題」を２つ見つけ提出すること。 (教科書以外のものでも構わない）
　　　　　  ・コピーの切り貼りで構わないけれども，出典を明記すること。
　　　　　　・「こういうことをしてみたい」という希望があれば，さらによい。
  　　　　　・次回の講座時に，ファイルにしておく予定。
　　　　　(2) 今回の問題等の中から一つ選択し，自分なりに追及してみる。
　　　　　　　そして，「こういうことをしたのがこう面白かった」あるいは，「こうい
　　　　　　　う授業化ができるのではないか」あるいは，「こういうことをしたいが，
　　　　　　　どうしたらいいのか」などについてまとめてみる。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
・提出内容はそのままＧＣ通信の中に掲載します。濃い筆記用具で書いてください。
・講座に対する希望等もどうぞ。（特に掲載希望がなければ，こちらは掲載しません。）

＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　　　１．軌跡とGeometric Constructor の機能　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋

　もともと，数学的には，「軌跡」というのは，次の二つの側面を持っています。
　(1) 点の動きの跡
  (2) 条件を満たす点の集合
  そして，多くの場合，これらが直線や曲線，いわば１次元多様体をなす場合「のみ」を
軌跡と表現するのが伝統的です。
　しかし，たとえばGeometric Constructor で扱う場合には，「結果」によって，それを
「軌跡」として見なすかどうかを判定することはできません。そのため，機能としては，
上記の二つに対応して，
  (GC1) 幾何的対象の動きの跡としての「軌跡」
  (GC2) 条件を満たす点の集合としての「軌跡」
という二つを持っています。

＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　２．「幾何的対象の動きの跡」としての「軌跡」　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋

2.1 最も簡単な使い方
  Geometric Constructor における軌跡の利用において，まず基本的なのは，
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　　　　　　　・軌跡の設定を行う　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　・Ｆ９キーによるＯＮ／ＯＦＦ　　　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
の二つの仕事が必要だということです。前者の軌跡の設定は，ファイルの中に保存される
ため，一番やさしい軌跡の使い方は，
　・ファイルを読み込む（たとえば，「外心」を読み込む）
　　（これをそのまま変形しても，軌跡は残らない。）
　・Ｆ９キーを押すことによって，左下に「軌」のマークを表示する。
　・そして変形する。
です。
  なお，軌跡はメモリを消費します。特に，98などで，日本語を使用しているような場合
は顕著です。適当なところで，軌跡を消去しましょう。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　　　　　シフト＋Ｆ９　で軌跡の消去　　　　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
です。

2.2 自分で設定してみよう
　前述の図形は，事前に設定してありましたから，変形するだけで軌跡が残りました。し
かし，一般には，自分で軌跡を設定する必要があります。そこで，重心の軌跡を設定する
ことをしてみましょう。
(1) 「重心.000」のファイルを読み込む。
(2) 「軌跡の設定」を選ぶ。
(3) 「点」を選ぶ。
(4) 「点Ｄ」を選ぶ。
(5) 色として「赤」を指定する。
(6) Esc を何回か押し，標準メニューに戻る。
(7) 「軌」のマークを確認し，必要があれば，Ｆ９キーを押す。
(8) 変形してみる。

＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　　　　　　３．ケーススタディ（１）　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　−「２辺正３角」−　　　　　　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋

3.1 「2 辺正3 角.002」−キーボードvs. マウス−
  これは前回も扱った例ですが，「2 辺正3 角.002」を読み込んでみましょう。そして，
点ＢをＡＣ間を動かしたときのＦの軌跡を調べてみてください。
　このとき，マウスとキーボードについては次のようなことが言えます。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜(1) 早く大雑把な様子を知りたいときにはマウスの方がいい。　　　　　　　　　　｜
｜(2) きちんと規則的に調べたいときはキーボードの方がいい。　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
  特に，「直線（水平，垂直）上を調べたい」ときには，キーボードの方が適切です。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
　キーボードの場合      （スケッチしてみましょう）              マウスの場合
  点の動かし方によって，軌跡が変わることもありますし，変わらないこともあります。
そのあたりをうまく予想させたり，観察させたり，記録させたり，またその理由を考えさ
せるあたりが，基本的な教材開発のためのポイントになると思います。
  たとえば，この問題の場合，
  ・ＡＣ上を動くとき，その軌跡が円（の一部）となる。
というのは，ある程度納得できることでしょう。では，
　・ＡＣ以外を動くときも，円上に限定される
というのはどうでしょう。たとえば，後者の意外性を「演出」したいとすれば，
　　ＡＣ上を横に動かすとどうなるだろう
　　　　　　　　　　→　それなりの予想と観察
→　では，ＡＣ上から上下に動かしたらどうなるだろう
　　　　　　　　　　→　上下に動くという予想も出る。
　　　　　　　　　　→　実際に行ってみる。
　　　　　　　　　　→　結果の意外性
という流れが考えられます。このような流れを作りたい場合には，キーボードの方が適し
ています。「←→」キーのみを押せば，「ＡＣ上」だけを動くことになりますが，マウス
の場合には，どうしても「アバウト」になりますから，「ＡＣ上以外」も動いてしまいま
す。むしろ，「ＡＣ上」に制限することの方が難しいでしょう。
　すると，「では，ＡＣ上から上下に動かしたらどうなるだろう」という発問は，「結果
を垣間見てから行うものとなってしまうため，興ざめしてしまうでしょう。
　補足−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　　　マウスの場合でも，点の動きを線分上に制限することもできます。しかし，そうす
　　ると，「左右に動かして調べるためのファイルと上下に動かして調べるためのファイ
　　ル」を別に用意しなければならない等の問題も出てきます。
　−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　　　４．条件を満たす点の集合としての軌跡　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋

4.1 例
  「条件を満たす集合」というのは，たとえば次のようなものを指します。
(1) 二点Ａ，Ｂから等距離にある点の集合　→　ＡＢの垂直二等分線
(2) 一点Ａから等距離にある点の集合　　　→　Ａを中心とする円
(3) ∠ＡＰＢ＝一定となるＰの集合　　　　→　ＡＢを弦とする円
(4) ＡＰ＋ＢＰ＝一定となるＰの集合　　　→　Ａ，Ｂを焦点とする楕円
(5) ＡＰ−ＢＰ＝一定となるＰの集合　　　→　Ａ，Ｂを焦点とする双曲線の一葉

4.2 ＯＨＰシート作戦
　これらについて，Geometric Constructor などで調べる場合，特に変わった機能を使わ
なくても調べることはできます。一つの発想としては，
　　　　　　　　　　　　　　すべてをソフトに頼るな
ということが挙げられるでしょう。たとえば，測定機能はソフトの内部にありますが，
　　　　　　　　　　ディスプレィ上の図を定規で測って何が悪い
とも言えます。もちろん，ディスプレィ上の図は多少歪んでいたりする可能性はあるわけ
で，ある意味ではナンセンスですが，私達の目的が「ＣＡＤを使った製図」のようなもの
ではなく，「図形の問題について考えるという数学的探究」であることを考えると，
　　　　　　簡単な方法でとりあえずアバウトな結果を得て，概要を知る
というのは，目的に合わせて考えてみると，妥当なことです。それは一般に，ツール型の
ソフトの利用全般についても一般化可能なことであり，つまり，
　　　　　　　　　　　　機能に関する学習は最低限にしたい
　　　　　　考える場面や作業内容として生徒にあったものを確保したい
ことが，授業で使うときには一つの原則となると思います。
　話を元に戻しますと，条件を満たす点の集合を調べるためには，
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　条件を満たす点の位置を画面上に「プロット」してしまえ　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
というのが，一つの手となるわけです。しかし，ディスプレィにマジックや鉛筆で書かれ
たらたまらないですね。ですから，
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　ディスプレィにＯＨＰシートを張りつけ，そこに書き込め　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
というのが，一つの手となるわけです。この手は，教育的には別の効果があります。つま
り，
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　重ねてＯＨＰで提示すると，何人分もの結果を「集約」することができる　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
ということです。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　一人で調べるのは大変だけど，みんなの結果を集めたら，ここまで分かる　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
という「演出」ができるという意味でも，ＯＨＰシート「作戦」と呼ぶに値するでしょう
。（この方法は，川崎市内で開発・洗練されたものです。）

4.3 「一人」でするにはたまらない
  しかし，この手は「授業向き」であっても，自分で調べるための方法としては，かなり
無理があります。特に教材研究等をする場合には，とりあえず，いろいろな可能性につい
て調べ, その中から選択するわけで，一つの問題に対する概略的な結果は，
　　　　　　　　　　　あまり考えなくても，作業が進められる
のでないと，疲れてしまいます。それを実現するための機能として，Geometric Construc
tor での「条件を満たす点の集合」があります。

4.4 アイデアとしての「領域の境界」
  この機能を理解する上で，補足になると思うので，追加しますが，ＯＨＰ作戦の場合で
も，たとえば，
　　　　　　　　　　「∠ＡＰＢ＝６０°となるときに点を取れ」
と言うと，ほとんど点を取ることができません。特に，測定の桁を小数点以下２位くらい
まで表示していたら，生徒はそれにこだわって，「６０．０１°でもだめじゃないか」と
思ったりします。
　川崎で議論していたときに，こういうアイデアが出ました。
　　　　　「６０°以上のときに青い○。以下の時に赤い○を書かせよう」
（授業のときに実際に扱ったのは，別の事例）
これは二つの意味で面白いアイデアでした。
(1) ６０°の場合が，「青と赤の境界」として現れる
(2) 調べた結果, 60°より大きいところ，小さいところの結果も，書き込まれる
   (そうでないと，「調べていない」のと区別がつかない) 
   (また，生徒が書き込める回数も増える) 

4.5 Geometric Constructor における「条件を満たす点の集合」の機能
  Geometric Constructor での機能は，上記の作業を部分的に自動化したものです。基本
的には，
  ある変数の符号の変化に応じて，動かしている点の軌跡を変える, というものです。
  そのため，∠ＡＰＢ＝６０となる場合を調べるには，数式機能を使って，
　「∠ＡＰＢ−６０」
について調べることになります。
　調べる手順は，次のようになります。
(1) 作図する。
(2) 測定する。必要があれば，数式を作り，その符号で判定可能にしておく。
(3) 「軌跡の設定」で「変数」を選択し，(2) の変数を選択する。
(4) Ｆ９のスイッチを確認。
(5) 変形してみる。
  このとき，キーボードを使った場合には，等間隔に記号が並びますが，マウスの場合に
は，もっと細かく調べたり，概略を調べられる反面，あまり綺麗にはなりません。
  また，描画の最中に，画面が汚くなりますが，Esc キーを押すと，描き直しますから，
あまり気にしないで，まずは変形をしましょう。
  この機能を使う場合も，メモリに対する配慮は必要なので，「画面全体を調べよう」と
いうようなことはやめ，大体調べたいところが分かったら，「シフト＋Ｆ９」でクリアし
ましょう。
　また，９８，ＦＭの場合には，Ｆ７キーで画面をフロッピィ等に保管し，あとでまとめ
てハードコピーを取ることなどができます。

＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　　　　　　５．ケーススタディ（２）　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　−円周角の場合−　　　　　　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋

5.0 はじめに
  今回の課題では，石川先生が，円周角の逆について提出していただいているので，これ
を一つの素材としてみましょう。

5.1 ∠ＡＰＢ＝６０°となるところを探そう
　やはり，まずは自分でやってみることが肝心ですから，「６０°」の場合を，マウスを
動かしながら，探してみましょう。
　さて，どの程度大変なことでしょうか。あるいはどの程度簡単なことでしょうか。
　そして，たとえば１０分という作業時間があるとすると，どの程度のことができるので
しょうか。
　（そういう「体験」をまずしておかないと，授業化は難しいでしょう）

5.2 桁数を変えてみる
  あまり本質的なことではないですが，必要に応じて，桁数を変えることもできます。
  「オプション」→「桁数の設定」
で，たとえば，「0 」を設定してみましょう。あるいは，「20」にしてみましょう。

5.3 「条件を満たす点の集合」を調べてみる
  ６０°にするのも一つの手ですが，「この角と等しい」という対象が見える方がいいか
もしれませんから，
　　　　　　　　　　　　　　「∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢ」
つまり，
　　　　　　　　　　　　　「∠ＡＰＢ−∠ＡＱＢ＝０」
となる場合を調べてみましょう。
今回は，キーボードを使った方がいいと思います。
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
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5.4 他の教具との比較
  Geometric Constructor を使う場合には，大体上のようなことができますが，「授業化
」を考える場合には，必ず，「他の教具の場合との比較」, 特に，
・こちらの教具では，こういう授業の流れになる。
・こういう流れにしたい場合には，こういう教具の方がやりやすい
というようなことを積み重ねていく必要があります。
　たとえば，円周角の逆の場合には，次のような場合が典型的ですが，その方法との違い
は，どういうところに出てくるでしょう。








＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　　６．インターネット（ＷＷＷ）利用の基本　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋

6.1 手軽な情報収集としてのWWW (World Wide Web)
  インターネットと言えば，「ああいう画面」という印象が強いと思いますが，「そうい
う画面」のことを，WWW と言います。最初は，テレビを見るのと同じ感覚で接してみれば
いいでしょう。
　講座での使い方と，学校や自宅での使い方は多少異なるとは思いますが，まずは，「体
験」してみることから始めましょう。

6.2 手順 (Netscapeを起動するまで) 
(1) 講座用のフロッピィを抜き，リセットする。
    リセットの仕方が分からなければ，電源をOFF / ON  してもいい。
(2) しばらく時間がたつとIDの入力を要求するので，
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　　　　　　　　　GUEST と入力し，ENTER する。　　　　　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
(3) WIN と入力し，ENTER する。
(4) Windows の画面になる。そうしたら，「X サーバー」を選択する。つまり，X サーバ
    ーのアイコン (絵) をダブルクリックする。
(5) 「Willing to manage 」というリストが出てくるが，この中の適当なものを選択。
(6) すると，login のIDとパスワードを要求するので，
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　　ID  の方には        ｋ９６００１  　を入力し，ENTER を押す。　　　　｜
｜　　　　パスワードの方には  ｑｑｑ１２３　を入力し，ENTER を押す。　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
　注意：ｑはキーボードの左上の方にあります。
　　　　パスワードは，入力しても，画面に表示されません。（盗み見されないため）
　　　　間違ったら，「password incorrect」と表示されますから，再入力しましょう。
        「ｑｑｑ１２３」というのは，この時間限りのパスワードです。
(7) しばらくすると，次のような画面が出てきます。
＋−−−−−−−−−−−−−−＋−−＋＋
｜＋−−−−−＋　　　　　　　｜@ @ ｜｜←目玉
｜｜　　　　　｜　　　　　　　＋−−＋｜
｜｜　　　　　｜　　　　＋−−−−−＋｜
｜｜　　　　　｜　　　　｜　　　　　｜｜
｜｜　　　　　｜　　　　｜　　　　　｜｜
｜＋−−−−−＋　　　　＋−−−−−＋｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
　マウスを動かすと，目玉が動きます。マウスの場所が分からなくなったら，目玉が見て
いる方向を探します。
　ここでは，ワークステーションの端末として動いているので，Windows とは多少使い勝
手が違います。
(8) まず，マウスを左側の四角の中に移動します。
  枠の色が「変わる」のを確認してください。
 (Windows では，そこで「クリック」をしないと色は変わりません。) 

＋−−−−−−−−−−−−−−＋−−＋＋
｜＋−−−−−＋　　　　　　　｜@ @ ｜｜←目玉
｜｜この中　　｜　　　　　　　＋−−＋｜
｜｜　　　　　｜　　　　＋−−−−−＋｜
｜｜　　　　　｜　　　　｜　　　　　｜｜
｜｜　　　　　｜　　　　｜　　　　　｜｜
｜＋−−−−−＋　　　　＋−−−−−＋｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
そこで，
  netscape
と入力し，enter します。
　こうして起動するのが，Netscapeと言って，WWW を覗くための最も基本的なソフト (こ
の手のソフトを「ブラウザ」という) です。Workstation 版なので，Windows 版と多少違
う点はあります。

6.3 Netscapeの基本
　最低限, 知っておくといい「ボタン」は, 
   Back  :一つ前のページに戻る
   Home  :出発点に戻る (ここでは数学教室のページが設定してある) 
　 Stop  :時間がかかるので，「中断」したいときに押す
  ぐらいです。
　画面の上の方にボタンが並んでいますが，
　○　　　　　　　○　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　○
＋−−＋−−−−＋−−＋＋−−−＋−−−＋−−＋−−−＋−−＋＋−−−−−−−＋
｜Back｜Forward ｜Home｜｜Reload｜Images｜Open｜Print ｜Find｜｜Stop　　　　　｜
＋−−＋−−−−＋−−＋＋−−−＋−−−＋−−＋−−−＋−−＋＋−−−−−−−＋

となっています。
　まずは，ホームのボタンを押してみましょう。
  数学教室のページが出るでしょうか。
　上記以外の「最低限度」の知識は，
　　「下線が引いてある場所」をクリックすると，別のところに移動
　　本文がまだ下に残っているときは，画面の右側にあるスライドボタンで動かす
　ことです。なお，このソフトでは，Workstation 版であるためか，
    スライドしたときに，読みにくくなる (ほとんど読めない) 
  ことがよくあります。こういうときには，
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　マウスの左ボタンを押したまま，画面内を上下に動かしてみましょう。　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
　ある部分が反転して表示され，見やすくなります。
  このマウスを「ずっと上へ」あるいは「ずっと下へ」移動しても，スライドしてくれま
す。
  まずは，Geometric Constructor のページを覗いてみましょうか。
　　　　　　　数学教室  →  「教官」のリスト  →　ＧＣフォーラム
とたどっていけば，たどり着くでしょう。
　こういうような操作を繰り返すことによって，いろいろなところを覗くことができます
。ネットワーク自体が世界的なものですから，
　　　　　　　　　リンクされている場所へはどこへでも行けます
しかし，当たり前のことですが，
　　　　　　　　　　　行き先が分からないところへは行けない
のも事実です。
　今回の講座では，地味なものしか覗きに行きませんが，目的に応じて，いろいろなとこ
ろに行ける様子は，文字通り
　　　　　　　　　　　　　ドラエモンの「どこでもドア」
という雰囲気を実感できると思います。ただし，体はついていけませんから，「覗きに行
く」だけですが。
　（休憩時間などに「散歩」してください（これを，ネットサーフィンという））

6.4 Geometric Constructor に関連してこんなことをしてみよう
(1) ソフトやマニュアルの入手
　「基本編」から，ソフトやマニュアルを探してみましょう。「印刷・製本」が遅れてい
るため，この講座でもまだ配布できていない「マニュアル」が届くでしょう。 (読むこと
はすぐできる。印刷等はやめておきましょう。プリンタが追いつきません。) 
  同様にして，ソフトの方も入手できます。入手の「一歩手前」まで行ってみましょう。
インターネット上では，このような感じで，数多くのソフトを入手することが可能です。
 (もっとも，無料とは限りません。試食してみて，気に入ったら送金するとパスワードを
知らせてくれ，それによって，正常に使えるというような場合も多いようです。) 

(2) 公開講座の本資料, GC通信を見てみよう
  本のページに戻ってみましょう。「Back」ボタンを押してみます。
　「公開講座」→「２号」
のところを見てみると，本資料を見ることができるはずです。
  また，バックナンバーもすぐに手に入れることができます。

(3) 研究授業に関する情報を見てみよう
  この部分は，今年いろいろなものを追加したいのですが，今のところ，「サンプル」を
整備しているような状況ですから，以前も配布した, 馬場先生と地曳先生の研究授業のデ
ータのみかと思いますが，まず，見てみましょう。
  「ＧＣワールド」→「授業実践」→「地曳先生の研究授業」
　すると，たとえば，発問等に関することが分かると思います。
　また，指導案を見たければ，「指導案」で，画像ファイルとして収録したものを見るこ
とができます。「読みにくい」という問題はありますが，これをそのままコピーする人は
まずいないはずですし，地曳先生に，新たに何かを作っていただく「手間」を考えれば，
まあまあ（スキャナーで取り込むだけという）労力に見合った程度の効果はあると思いま
す。
　「Back」してみて，「授業記録」を見てみましょう。すると, 授業の様子の写真を見る
ことができます。機器の設置の仕方など，「百聞は一見にしかず」というようなものは，
やはり写真は不可欠です。
  「生徒の感想文」のところをクリックすると，末尾に移動します。ここでは，14人分の
生徒の感想文をやはりスキャナーで取り込んだものを掲示しています。
  また，関連する情報として，
  ・メーリングリストの中でのやりとり
  ・この授業に関連した私のイプシロン掲載の論文
なども，そのままリンクしてあります。

(4) ニュース
　最近, あまり更新していないのですが，いわゆる「新着情報」を，ここに掲載していま
す。

(5) 他のサイト
  他にも，いろいろな情報を提供しているところがあります。たとえば，作図ツール関連
のサイトを探すには，
  Geometric Constructor のページ  →  リンク
で，外国の情報も探せます。しかし，ここは最近あまり修正していないので，たとえば，
  数学教室のページ  →  数学教育とテクノロジー
で上越あるいはIES のページを探すのも手です。
また，学校関係の情報は，
  数学教室のページ  →  学校
と探してみるのも手です。
  いずれにしても，これらの内容は，また来月までには，いろいろと変わっていくと思い
ます。

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｜　　　　　　　　　　　　　　　７．課題について　　　　　　　　　　　　　　　｜
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7.1 武井先生
　1.については，「面積の性質」について授業化を検討してみるのもなかなか面白いです
よね。特に，面積の関係が「一目瞭然」の場合とそうでない場合がありますから，どうい
う順番で提示するかによっても，異なってくると思います。

  2.この問題については，「コンピュータで数学授業を変えよう」の中で，地曳善敬先生
が実践されています。
　この他, 「高校への数学」は問題探しのための資料として，有効です。
　また，この図も，A,B,C,D を動かす調べ方と，T を動かす調べ方のどちらを考えるかに
よっても，流れが変わってくると思います。

  3.　このような問題の場合は，ついでに「変形してみる」といいでしょう。
　　→武井03.***

  4.感想について
  「MNの長さを切り取って，BCに重ねて考える」というのが，どういう操作を想定してい
るかによって，「はい」とも「いいえ」ともなるのかなと思います。
  一般論としては，
・考えている操作を「考え方を変えないで」ソフトで実行できる場合は，ソフトを使うと
いいでしょう。
・考えている操作を実現するために，自分の中で「翻訳」をしなければならない場合や，
それをしても，他の媒体，たとえば紙や黒板などでの操作とあまり変わらないのであれば
，止めた方がいいでしょう。
　たとえば，この場合，
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  武井04.000においても，点A を動かしながら説明する手もないわけではありません。し
かし，「点A が消えてしまっては問題だ」というのであれば，武井04.001のように，点A 
のコピーを作っておく手もあります。すると，点A をB に重ねた場合という形で，BC上に
乗せることができます。
  また，もっと「凝った」ものにしたければ，武井04.002のように，このときの点D の動
きをAB上に制限し，そして，線分の軌跡を残すという手もあります。しかし，工夫をして
，動きを限定するということは，場合によっては，「単なる説明のためだけにしか使えな
い図」となってしまうこともあるので，「目的」を明確化することが重要でしょう。
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7.2 長谷川先生
  角度の問題をどう扱うかは，なかなか面白いテーマであると同時に，意外に難しいテー
マです。
　　　　　　　　　　　　　　　　面白いけど難しい
という意味は，
　　　　　　　　　　　　楽しみ方を変えなければならない
ということです。
　たとえば，三角形の内角の和が１８０°に関しては，
　　　　　　　　　　「和が１８０°」の画面を提示すればいい
とも思えますが，それを見る生徒にとって，
　　　　　　それを理解し，納得すること自体が，一つの適切な課題になる
場合はいいですが，
　　　　　　　　　　　それ自体は，当たり前に思えてしまう
ような場合は，
　　　　　　　　　　　　　　　「だからなんなの」
としか思ってくれず，かえって逆効果になってしまいます。
　ですから，そういうときには，少なくとも，
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｜　　　　　　　　　　　　発見可能なことが，複数ある　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　そして，ほとんどの生徒にとって，一つは発見可能　　　　　　　　｜
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であるように，課題を設定することが不可欠になるわけです。
　このような
　　　　　　　　　　　　　　「課題をどう工夫するか」
というのは，実は，まだ先の内容と言ってもいいことなので，講座の内容としては，おそ
らく，９月以降になってから，本格的に扱うことになると思います。
　そこで，まずは，
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｜　　　　　　　　　作成したファイルを，いろいろと動かして，　　　　　　　　　｜
｜　　　　　　　　「どういう問題」だったら面白く探究できそうか　　　　　　　　｜
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を考えてみてください。

7.3 大黒先生
  これらもなかなか「難しい」んですよね。
  たとえば，前者は，拡大縮小の様子を「提示」することはできます。しかし，そこから
先は，発想を変えないと，あまり面白くないかもしれません。
  また，後者も，発想の転換が不可欠です。
  なぜなら，教科書で前提としているのは，
　　　　　　　　　　　「縮図を書いて，測定し，何倍かする」
ということですが，作図ツールを使うと，
　　　　　　　　　　　　　その全てをそのまましてしまう
わけです。元の学習目標とずれてしまう部分も出てきます。なにしろ，
　　　　　　　　　　　　　「縮図を手で描いて測定する」
ことをしないわけですから。
  ということを考えると，
　　　　　　　　　　　問題場面をよりよく提示するための教具
として使うことを考えた方が，適切かもしれません。そして，そうであれば，
　　　　　　　　　　　　ある種の自由度とある種の不便さ
を残す必要があるわけです。たとえば，
　　　　　　　　　　「角度を30°に設定すると測定ができる」
というのではなく，
　　　　　　　　　　「木の高さを変えると角度が測定できる」
ようにしてみるのも一つの手です。すると，
　　　　　　　「大体のところは分かるが，ぴったりとは分からない」
場面が生成できるわけで，
　　　　　　　　　　　　　　　　なんとかしようよ
という気持ちを生み出すための場面作りになるわけです。

7.4 神谷先生
　この両方の事例とも，
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｜　　　　　　　観察する環境が変わると問題の実質的な意味が変わる　　　　　　　｜
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例として考えてみるといいと思います。つまり，
  元の場面 (紙と鉛筆) 　　　　　　　　　　　　作図ツール
  ・動かない　　　　　　　　　　　　　　　　・動かせる
  ・書き込みができる　　　　　　　　　　　　・書き込みができない
  ・「大体」の数値しか分からない　　　　　　・細かい測定値まで分かる
などの違いがあるわけですが，それによって，
　　　　　　　　　　　　　「予想」すると予想できること
が変わってしまうからです。たとえば，
(1) について，
　　　　　　ｘ＝ｙ＋ｚ，　ｘ−ｙ＝ｙ−ｚ，　（ｘ＋ｙ）÷２＝ｙ，
　　　　　　　　　　　　　　ｘ：ｙ：ｚ＝３：２：１
などが，相馬先生の本の中で挙げられていますが，
　　　　　　　　もし，「測定」してしまったら，どうなるでしょう。
あるいは，測定したら予想が減ることを考慮して，
　　　　　　　　　　　　　　　　　測定しない
という手もあります。そうだとすると，
　　　　　　　図を動かすことによって，「予想」が支援されるかどうか
が，「使うか使わないか」の判定基準となるでしょう。

また，(2) については，別のことがあります。つまり，
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｜　　　　　　　この図は，別の観点から，様々な「問題化」が可能　　　　　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
ということです。そして，
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
｜　　　動かすのであれば，どのような問題として提示するのが最も効果的か　　　　｜
＋−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−＋
ということを考えるに値する図だということです。
　これは，関連する図をいくつか用意しましたから，
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｜　　　　　　　　　　　動かしながら考えて見てください。　　　　　　　　　　　｜
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7.5 平野先生
  最初の図は立体なので，Geometric Constructor ではちょっと無理です。そこで，矮小
化かもしれませんが，「平野01」では，三角形の面積について挙げてみました。

  「２」の例の方が面白いと思います。この場合，紙では「二つの図」ということになり
ますが，「左の長方形を動かして平行四辺形にする」という見かたをすると，
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｜長方形の場合に合同だった三角形が，平行四辺形の場合にはどうなるだろう　　　　｜
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という問い方をすることができます。あるいは，もっは特殊化して，
　長方形　の前に　正方形
を置くこともできるかもしれません。

7.6 中村先生
　この図はなかなか「難物」でした。実は，作った図も，間違っています。（ＡＢを垂直
にしておく分には大丈夫で，修正にかなり時間がかかるので，このままにしました。）
　どういう意味で難物かというと，「作図が大変」なのです。そういう意味で，
　　　　　　　　　　この素材は，（私のための）「作図問題」
と言ってもいいかもしれません。
　さて，途中の経過も分かるようにしてありますが，まずは，「横方向のみに拡大・縮小
」する図を作ってみました。次に，「縦方向」のものも作り，その両方の効果を合成しま
した。
　出来上がり図の一方では，
　Ｍを動かすと横方向の倍率が変わる
　Ｎを動かすと縦方向の倍率が変わる
ようになっています。
　しかし，両方が一緒に動く方が教科書の図には合った動きなので，もう一つの出来上が
り図では，
　Ｍを動かすと，縦横，それぞれの倍率を一緒に変える
ようになっています。
　この図を使って動かしてみることが，授業中で効果があるのかどうか，その辺を検討し
てみてください。
　なお，一般に，この程度図が複雑になってくると，遅く機器では図の動きが緩慢になっ
てくることもときどきあります。

7.7 本樫先生
　この問題は以前からよく見ることが多かった図だったのですが，私自身はあまり関心を
持たないままでした。何となく，Geometric Constructor には向かない図のような気がし
たからです。むしろ，紙の上に長方形を描いて，分点を取り，定規で線を引いたり測った
りする方が向いているような気がしたからです。
　今回は，自分なりにちょっと発想を変えた図を作ってみました。
　そのアイデアは，
　ＡＢＣＤと分点を最初から描き，「固定」してしまう。
　ＡＢＣＤとは別に，動かす点を４つ作り，それらの交点も作る。
　それらの４つの位置を自由に動かしてみると，比がどうなるか調べてみよう
その後の自分なりの追究をする時間がなかったので，まだ，紙と鉛筆の場合との比較はし
てみていません。どうなるでしょうか。

　上記の問題と比べると，等積変形の方は，「見せる図」と割り切ってもいいような気が
します。どうでしょうか。

　「よくないこと」に関して
　一つの手としては，紙のようなものを画面上に当て，それを動かすという「掟破り？」
の手も考えられます。（僕はそれでもいいと思いますが）
　軌跡として残したいという場合は，この図の中に，新たに三つの点を回転されたものを
追加し，その三角形の軌跡を残すという，説明用の特別な図を作らなければならないこと
になります。
（そうすれば，できないことはない）

7.8 石川先生
　円周角の定理に関しては，前述の通りです。
　また，「長方形になる条件」の問題は，なかなか奥の深い問題で，たとえば，玉置先生
による実践は，「コンピュータで数学授業を変えよう」の中でも，「不可能の証明」とし
て挙げられています。
　この図の奥の深さは，いずれ別のところで，まとめてみたいと思っています。

なお，上記の事例に関しては，可能であれば，インターネットの方の「ＧＣワールド」の
部分で，「教材研究」のコーナーなどで再編集してみたいと思っています。（実際，いろ
いろな事例と関連があり，その関連を明示するのには，このような紙の媒体にはかなり限
界があると思います。）