ソフトウェアの活用と指導案作成

私はどういうことをしている人間か(自己紹介を兼ねて)

• 数学教育(特に図形教育)の研究者
• 作図ツール(GC)の開発者
• (ここ数年)インターネットをよく使っている一人
• より詳しいことはこちら

安易なコンピュータ利用は必ず失敗する

• 「コンピュータを使う」ことに意味があるわけではない
• 使っても使わなくても同じ事例ならば,使わない方がいい
• 自分(教師)にとって感動した事例でも,生徒にとって「だから何なの」というのでは失敗
• 「紙と鉛筆」という道具を使ったときの数学と,コンピュータという道具(環境)の中での数学は様々なところが違う。それをある程度把握しておかないと,木に竹を継いだような変な授業になる。

数学教育を取り巻く状況の変化(コンピュータ利用を考える前提として)

• 人間像・生徒像・社会の中で必要とされる数学像などの様々な変化
• (標語的には,「工業化社会」から「情報化社会」へ)

• 「受験のため」だけではやっていけない時代へ
• 「必修」から「選択」してもらう時代へ
• 「すべての生徒が同じことを学ぶ」画一化の時代から「自分に適したことを学ぶ」多様化の時代へ
• 必要に応じて学び直す生涯学習の時代へ
• 与えられた問題を「解く」時代から問題を「作る」時代へ
• 数学のよさを言葉や行動で積極的にアピールしなければならない時代へ

• 基本的には,「数学のどういう面をうまくアピールできたり,生徒の活動として引き出せるのか」が問われる

• 「基礎・基本」の精選と「総合・選択」等の多様化対応の時代へ

• 学校教育のインフラとしてのネットワークが整備され,当たり前のものになる時代へ
• (企業などを中心とする「世の中」はすでにネットワーク化)
• 授業等でどう利用するか
• 教育というシステムをどう改善するか
  • 「削減」という後ろ向きの面も確かにある。
  • コンピュータ等の発達により,技能は知らなくても,原理やアイデアが分かっていれば,それなりにアタックできる可能性がある。
  • 多様化のために生かせる資源は,個々の教員・生徒などの「人材」
  • 「人材」をネットワークというインフラで活性化できるかどうかが重要
  • 観点を変えれば,「自分らしさ」をアピールするにはこれからはとてもいい時代

出発点 = 数学的な面白さの分析とその実現可能性の模索

• 「面白さ」というと語弊があるかもしれない。堅く言えば,数学的価値を言葉で語り,行動で表現すること
• そして,それを生徒が「再体験可能」であるように工夫すること
• 再体験(学習)可能にするために障害になっていることを明らかにし,それを解消する手段を考えよう

未知の数学的な面白さを体験するきっかけの一つとしてのコンピュータ

• 先入観を排除して,素朴な気持ちで,ある問題を,今までとは別の環境(コンピュータ等)の中で考えてみよう。
• そこで,新しい世界が見えてくることもある。
• 今までの環境が,意外に多くの制約の中で成立していたことを感じることもある。
• 未知の問題に「アタックしてみようか」とその気になっている自分がいたりする
• 自分を「変えてくれる」要因はあるか。あるとすれば,それは何か。
• それが明確ならば,授業を変える道具になりうるかもしれない。

数学教育におけるコンピュータ利用の可能性(1) - 単体としてのコンピュータ -

• 本来の数学的な面白さを引き出してくれる環境
• 思考や操作の対象を具体化してくれる環境
• 数学的アイデア等を,「原理的には実行可能だが,実際に実行するのは面倒」な状態から,「気軽に実行してみて結果から納得することを可能にしたり,試行錯誤が可能な」状態にしてくれる環境
• 数学的探究のための技能や方略の学習を可能にしてくれる環境

典型的なソフトの種類

• 言語環境(Basicなど) : 「プログラムで記述」, 数, 式,グラフ等の概念の支援
• 作図ツール : 図形を作図したり,動かしたりする
• 関数描画ソフト : 式を変えることによって,グラフ等が変わる
• 表計算ソフト : 「(代入等を実行する対象としての)数式」や「表」の概念の拡張
• 数式処理ソフト : 「(記号処理の対象としての)数式」やその操作の概念

ソフトの実体

• 「買う」ことは入場券だけ
• マニュアルを読んで分かるのは,ほんの一部の世界だけ
• 潜在的な「ソフトの実体」=「そのソフトによって実現可能な数学的世界(と従来のものとの違い)」
• 開発時にも,いくつかのテストケースは考えて設計するが,実際には,ユーザーが勝手にいろいろな世界を構築していく(その自由度が広いほど,いいソフトといえる)
• ある意味では,「ソフトの実体」=「そのソフトの(有力な)ユーザー全体と,ユーザーが構築する数学的世界全体」
• ユーザーが構築する世界全体は,いわば多様体のようなもの,つまり「個々のユーザーの状態は,ローカルには把握しているが,グローバルな様子は分からない」。
• その総体を分かりやすくすると同時に,ユーザー相互をうまく有機的に結びつける機能が不可欠。
• 教育的利用に関しては,それが重要であるにも関わらず,なかなか前に進まないのが実情でもある。
• 一つの手がかりとして,「ネットワーク」利用がありうる。

数学教育におけるコンピュータ利用の可能性(2) - ネットワークで結びついたものとしてのコンピュータ -

• WWWとの連携により,様々な資料を共有可能
• Mail,MLなどとの連携により,「その気のある人々」を活性化し,結びつける
• 事例の蓄積等により,様々なニーズに合わせたカリキュラム化を実現しやすくする

授業化のために

• 何が面白いのか(数学的価値の分析)
• 発問や問題設定の工夫
• 生徒が授業の中で何をするのか(目的意識, 探究の方略, 手続き, 想定される結果, 予想とのズレ, 議論の対象, 結論と学習しうる内容)
• どのような多様性を確保するのか
• ソフトに関する必要最低限の機能は何か。どこまでを教師が準備し,生徒がどこまで習得することを要求するのか。
• その事例を学習することで,他のどういう問題にどういう取り組みが可能になると考えられるか

多様性の源泉とそれを制御するものとしての発問など

• 解の多様性 ( + 条件を満たす事実の多様性)
• 方法の多様性 ( + 操作手順等の多様性)
• 事実(図など)の解釈の多様性
• 「次に何を考えるか」等の多様性
• など

ケーススタディ 1

作図ツール GC/Win を使った事例をいくつか考えてみよう


(プロジェクタの画面を見ながら考えるやり方で）

• ５心に関連して
• 三角形の角の2等分線に関連して
• 最も典型的な例としての「4角中点」
• 垂直二等分線の軌跡(包絡線)

• その他(GC World)

機器の特徴と選択

• OSなど

  Win95/98/NT4.0,macintosh	ネットワークコンピュータとしての利用には不可欠
  Win3.1	現状としては,ちょっと中途半端なスタンス
  DOS	ubasicやQuick BASICやGC/DOSなどには使える
  グラフ電卓	TI-92などは,数学的探究に使われそうな基本的なソフトを搭載している。パソコンと比べ,見劣りはするが,価格,稼働時間などは,リーズナブル。
  Win/CE	「1人1台」を現実的に考えるには,このあたり。しかし,まだ発展途上。

• 台数

  パソコン(20,40台)	生徒が「調べる」活動を含む	コンピュータ室の確保が難しいのが一般的 マルチメディア化に伴い,他教科での利用が増えれば,数学での利用はより難しくなりそう
  パソコン(1台)+提示装置(プロジェクタなど)	問題提示などのため	使いたいときに使える環境さえ整備できれば,かなり有望 また,ネットワーク化されていれば,職員室等でデータを作成し,教室で必要に応じて使い,必要な生徒は,放課後や家庭からもアクセスする等の利用形態が可能になる。
  教材研究のためのパソコン(1台)	教師が教材研究のために使い,授業では使わない	ネットワークとの連携が主流になるであろう

• ネットワーク

  ネットワーク対応	WWWとの連動が可能。Win95以降でないと無理	現在でも,教師が教材研究等をするための環境は整っていると言えるが,生徒が一人一台の形で使うほどはリソースが揃っていない。
  スタンドアロン	DOSでもいい	使う目的等が明確でファイル等をそろえておいて,作業をするには,スタンドアロンでも,差し支えない。GCなどでは,DOS版でも,ほとんどのことが実行できる。

ネットワーク利用の可能性

• WWWにある様々な事例を利用する
• MLなどで,議論する
• ホームページとして,様々な資料を作成し,ftpでWWWサーバーに書き込み,それについて,MLなどで議論する。
• より多くの仲間で共有可能な資料群を育てていく。

GC/Winのインストール

配布されている CD-R から, GC/Winをインストールする。


主な手順

• (パソコンを起動する)
• CD-RをCD-ROMドライブに挿入する
• エクスプローラ等を使って,CD-Rの「\iijima\gcw114A\setup.exe」を起動する
• インストール用のプログラムの一部を最新版にする必要がある場合は(今回はそのケース),一度再起動を要求される。(再起動する)
• もう一度,上記の「setup.exe」を実行し,GC/Winをインストールする

GC/Winをちょっと使ってみよう

• 「ファイルの読み込み」で,「sample.gc4」の中のファイルを読み込んでみる。
• 点を動かしてみよう
• より詳しいことは,オンラインマニュアル

GC/WinをWWWブラウザとの連携可能にしよう

• GC4ファイルへのリンク(ここ)をクリックする
• 「ファイルの処理方法」として「開く」を選択
• (「警告の必要性」は外してもいい)
• データを開くアプリケーションとして「その他」から「c:\Program Files\Geometric Constructor Win\GCwinA.exe」を選択する。

• このことについてのより詳しいことは,こちらを参照のこと

ケーススタディ 2

実は,上記のケーススタディ 1 もWWW経由ではあるが,それをより意識しつつ,次の事例についてブラウザを使いながら,考えてみよう。
• GC World の複素数関連の部分,オンラインマニュアルなども参考にはなる
• 表計算ソフト(Excel)(データはまだあまりない)

課題

まず,コンピュータを使うことによって,数学的な面白さをさらに引き出せると思われる問題を明確化する。(発表した例等の拡充でもいい)
グループごとに,次のいずれかの課題に取り組んでみよう


「いくつかの」発問例を考え,比較する

ある発問に関して,違うソフトを使った場合の授業の違いを比較する

WWWでワークシートなどを作るとしたら,どういう形態ものがよいかを検討し,実際に作成する。

ネットワーク等でディスカッションするには,どういう問題が適しているかを検討する

19日の追加資料

• ソフトの改良
  昨日,斉藤先生(東海南高)から,次のような指摘がありました。
  「複素数を扱うときは,直交座標系よりも,極座標系の方がいいと思う。」
  そこで,「座標表示の形式」として,直交座標系と極座標系のいずれかを選択できるように,修正してみました。
  これを, ver.1.1.5 とすると同時に,1.1.4のときにほぼ意味を失っていた「A,B」の区別をやめ,A版のみを残すことにしました。
  上記の機能は,ソフトの機能的には大したことがない機能ですが,それによって,複素数に関するある問題に関する探究の仕方が変わるとすれば,それは大きな意味があります。
  関心がある方は,ご検討ください。
  なお,実行ファイルはこちらにあります。「ディスクに保存」します。実行ファイル名を GCwinA.exeに変えて,「\Program Files\Geometric COnstructor Win\」にある 1.1.4Aと入れ換えても使えますし,あるいはどこかのディレクトリィに gcwin115.exe のまま保存し,エクスプローラなどで起動するという手もあります。
  
  講座のときにいくつかエラーが発生していました。帰る電車の中で調べてみたところ,ver.1.1.4では問題ないのに,ver.1.1.5に問題があることが分かりました。ソースそのものの修正箇所はエラーには無関係なので, さらに追跡調査をしなければならないことが分かりました。また,当初考えたような Win95ではokだが,Win98ではエラーというような状況でもないようです。
  いずれ,修正版を改めて ver.1.1.5といたしますが,それまでは, 講座内で配布した ver.1.1.5は使わないようにしてください。元のver.1.1.4はかなり安定しているはずだと思いますので,そちらをお使いください。

  上記の問題は改善いたしました。
  GC/Win 関連の情報をごらんください。

• 大学院での授業
  講義ノートはWWWで,レポートはメールで提出というようなスタイルを試験的に行ってみています。
  

• 公開講座の資料
  ここ数年,月に1回ずつ,合計6回の公開講座をしています。参加されている先生方のレポートなど,いろいろな素材があります。(高校の例はあまりないですが)
  

• エルランゲンプログラム的アプローチについて日本科学教育学会での発表資料(1997)

• Geometric Constructor による数学的探究の制約と多様性−主要３機能（変形・軌跡・作図）に関連して- 日本数学教育学会での発表資料(1997)

• 作図ツールによる数学的探究の変革のためのインターネット利用日本数学教育学会での発表資料(1997)

• Math-Mediaゼミの学生による問題のページ(1997)

• Math-Mediaゼミの学生による問題のページ(1996)

• 数学教室のサーバーのアクセス状況

• 数学教室のサーバーの事件簿

発表と考察(19日)

• 形式
  4人一組のグループ別(10組)で考察/発表。
  個別の作業時間が約1時間20分。休憩10分。発表/討議1時間30分。
  それぞれの端末でデモ等を行い,画面転送で参加者が観察する。
  

• 教材研究のために使われた主なソフト
  Excel, Grapes. GC/Win, PowerPoint
  課題に対する作業の時間が決して十分ではないので,前日はかなり不安も覚えたが,やはり参加者の方々の力量は高く,いろいろな興味深い事例が提案された。
  口頭での発表なので,記録として残っていないし,記憶を手がかりに私がここに書くのもどうかと思うので,書かないが, 「手慣れたソフトはサクサク使える」という印象を持った。やはり,次の段階としては,そのような事例集を, WWW上で共有し,意見交換等が日常化するということではないかと思う。
  

• ネットワークを使ったもの
  • 参加者のためのML作成
    99年度に松江教育センターに導入されるサーバーで今回の参加者のための ML を作成しようという話が,前日の懇親会で福代情報教育課長から提案があったのだが,菰野高の浦田先生が,「私の学校のサーバーで作成しましょう」と,作成するところを実演された。PowerPointでプロセスを説明しながら, telnet を使って, 学校のサーバーにある fml を操作された。
    

  • WWWを使ったワークシートやネットワーク上で議論するに値する問題などについて
    豊田工の藤井先生が,さっそく,ご自分のページの中に,上記に関することをまとめていただいた。
    

  • コメント
    今回の講座でも,ftpが使え,素材加工のための道具が気楽に使え,そしてあと少しの時間を使うと,それぞれの先生の課題をすべて WWW の上で発表するというようなこともできそうだった。実は,そういうこともある程度想定し,数学教室のNTサーバーに今回用のftpアカウントも用意しておいたのだが,ここのWWWは県庁のサーバーを使っているため,勝手にいろいろできないことや, ftpが通らない設定になっているらしいことなどから,実際には行わなかった。この要項の修正をしておいて,それを ノートパソコン -> モデム -> 電話 -> 愛知教育大学情報処理センター -> 数学教室のサーバー という形でアップするのが精一杯だった。
    また,実は mathedu (数学教育関係の ML)にも,ちょっと投稿してみたのだが,反応がなかったので,講座の中では紹介できなかった。
    

    そういう環境でも,今回,上記程度のことまでできたということは,次回以降は,「みんなで共有するためのリソース作りとしてのページ作り」等を課題として行える可能性が十分にある。
    今回,藤井先生のページから,既存のWWW上のいろいろな試みを実感することができたが,さらに進めれば,ここの参加者「だけ」の講座ではなく,その場には参加していない人も, MLの中で議論に参加するとか, 課題として作られたものへのコメントをするとか,かなりインターラクティブなことをやってしまうということもできるのではないかと思う。
    

今後への課題

現状で,十分なネットワーク環境がある学校は少ない。すべての学校で,ネットワークを気楽に使えるようになるまでには,まだまだ時間がかかる。しかし,我々の人的ネットワーク形成と,様々なプロジェクトを進めていく上では,ネットワークの普及は大きな可能性をもっている。
しかし同時に,「誰かが作ったデータ等を使おう」というだけのスタンスでは何も変わらないし,進まない。ネットワークの向こう側にいる人々とうまく連携を取りながら,自分たち自身(教師/生徒)がイニシアチブをとり,自分たちに必要なものを,自分たちでうまく育てていく必要がある。
そのためには,どのようなものが必要なのか,どういう試みが可能性があるのか。
そして,そういう試みを実行するにあたり,「その気」と努力さえあれば,大した予算がなくてもできるところにネットワークのよさがある。


個人的な意見だが,あまり近視眼的に「明日の授業をどうしよう」とばかり考えない方がいいと思う。まずは,自分たちの専門である数学に関して,いろいろな知見を深めていくために,「自分たちを育てる」こと,「自分のよさを伸ばすこと」そして,「いろいろな人とのコミュニケーションを取ったり,連携プレーを図ること」を考え,実行してみることが大切ではないかと思う。
そういう中で,ネットワーク時代に適した価値観とか,行動様式とかいうものが見えてくる。そういうものを背景にしながら,次世代の子どもたちにとっての数学を考える中で,自然に,いろいろな事例が育っていくのではないだろうか。

さて,みなさんは,どういう試みを今後なさるでしょうか。
大学や教育センターなどは,どういう機能を果たすべきでしょうか。
MLも作っていただいたことですし,続きはそこでやりましょう。

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