作図ツールによる数学的探究

はじめに

ここでは，ＧＣをはじめとする作図ツールを使った数学的探究に関わることをまとめてみたいと思います。

[方略等]

• いろいろな場合について調べる: 作図ツールを使うと何ができるか。まず第一に,「変形」である。「変形」はどういう意味を持つのか。それは,条件を満たすいろいろな場合を調べることができるということだ。
  

• 実験と推論（帰納と演繹）: 数学は演繹だけではないし,計算だけでもない。Polya流に言えば,実験科学的な側面も持っている。図形について考察する場合,定規・コンパスを使ったり,実物を測定したりすることも一つの手だ。フリーハンドで描くことも一つの手だ。それらと比べて作図ツールが万能ということなどない。しかし,様々な場合を精確かつ迅速に調べるためのとても有効な道具として使えること,そのため,「実験」が可能になることが増えるだけでなく,様々な推論(あるいは演繹的活動)を支援することも多い。
  

• 証明と論駁:探究中の命題は,それが「正しい」のか「正しくない」のか分からない。(正しくないはずのものを正しいことを証明しようと試みるなど)間違った予想の下で取り組んでいると,不毛な時間が過ぎ去るのみである。そのため,多くの場合,「正しい」ことを前提に,それを証明しようという方向性と,「それは正しくない」ことを前提に,それを論駁しようとする方向性の二つを考えながら数学的探究は進む。
  (cf.Lakatos:数学的発見の論理 - 証明と論駁 -)

• 反例:いろいろな場合について調べてみると,正しくない予想のときはすぐに反例が見つかる。特に,「こんな場合であっても成立するだろうか」という特殊化をすることは,実験の事例を作る上でも,また,推論だけで反例を見つける上でも,有効である。

• 妥当性:いろいろな場合について調べてみても反例が出ないということは,その予想はほぼ正しそうだという確証を与えてくれる。それは論理的な証明を与えてくれるものではないが,論理的な証明ができそうだという確信を与えてくれる。

• 一般化・特殊化

• エルランゲンプログラム的アプローチ

• サバイバルゲーム

• 1 way principle(「逆」は一般には難しい。しかし...)

• 「アバウト」な結果を次第に精緻化する

• 「場合分けが必要」だったものを統一的に扱えるようにする

• 存在の蓋然性・妥当性を与える図とその構成としての作図

• 関数「f:図→図」としての作図

• 共通性

• 不可能性

[探究記録]

• 「4角中点のもう一つの形」について(1):線分の等分性の保存について

• 「4角中点のもう一つの形」について(2):面積のなす数列が「2重等差数列」をなすことについて

[参考資料]

• Polya:How To Solve It(いかにして問題を解くか,丸善)
• Lakatos:Proof and Refutation(数学的発見の論理 - 証明と論駁 -,共立出版,1980)