１．エルランゲンプログラム的アプローチ
F.Kleinによるエルランゲンプログラム
- 「空間に対して，変換群が与えられたとき，その不変量を調べよ」
↓
- 様々な変換群の存在は，様々な幾何学を成立させる。
- 変換群の包含関係等は，それぞれの幾何学の関連を生んでいる。
- 幾何学の全体像を見渡す上で,重要な考え方
- 「空間に対して，変換群が与えられたとき，その不変量を調べよ」
(数学的探究における)エルランゲンプログラム的アプローチ(本論における造語)
- 具体的な数学的探究の場面では，最初に変換群が与えられていることは少ない。
- 何らかの図形とそこに成立する性質 (群) がある。
- 「ある図形に対して，性質群を見いだし，それらがどのような変換群の下で不変量になるのかを調べよ」を
エルランゲンプログラム的アプローチ
と呼ぼう。
- 具体的な数学的探究の場面では，最初に変換群が与えられていることは少ない。
２．作図ツールの「変形」／「変換」の利用
文字通りのエルランゲンプログラム的アプローチを行うには「変換」
- 様々な「変換」を作用させ結果を観察する
- ある１パラメーター変換群による作用を連続的に観察する
- そして，そのための手軽な手段として，作図ツールの利用が考えられる。
「変換」は大学生のための環境としてはいいのだが...
- 大学生が,「エルランゲンプログラム」の精神を,実践的に理解するための道具としては,かなり効果があるだろう。
- 「変換」の大学生「以前」での利用における問題点
- インターフェイスの適切性の問題
- 「変換群」の選択が必要
- なぜ,その変換群を選択するのか
- そこにある変換群のリストで十分なのか
- 「変換」あるいは「変換群」の理解が必要
- インターフェイスの適切性の問題
- 大学生が,「エルランゲンプログラム」の精神を,実践的に理解するための道具としては,かなり効果があるだろう。
「変形」の利点
- 「変形」の意味
-
変形は図形をいくつかの点を基にして構成される関数としてみなすこと，そしてその元になる点（＝独立変数）を動かすことによって，図形（＝従属変数）がどう変わるかを観察することである。
- 変換との相違点
-
「三角形の重心」のように，場合によっては，一点を動かす変形がある変換（この場合はアフィン変換）を施すのと全く一致する場合もあるが，「三角形の内心」のように，そうはならないこともある。つまり，原理的には，変形と変換は，現象としては似ているが，かなり異なる。
- 「変換」と比較したときの「変形」の利点
- 基本的に,変形は「いろいろな場合を調べる」こと。
- その原理と意味に関して，かなり低い学年から理解可能
- 図における動かせる点(独立変数)は明確。「どういう変換」のような曖昧さはない。
- 動かし方や観察可能なことは豊富。ある意味では,「変換の下での不変かどうかを調べる」こと以上に豊富な活動が可能。
- 「変形」の意味
３．「変形」や「変換」を利用した指導
教育研究は,ソフト開発で終わるのではない
数学的探究のためのソフトは,「機能の実装」によって,
- 「こういうことをしたい」と思っている人には,有力な道具になる。
- 逆に,それが分からない人には,使い物にならない。
- 暗黙のうちに,ある学習環境の中での指導を前提としている。
- それと異なる学習環境を使った学習のためには,様々な工夫が不可欠である。
通常の指導における問題点
一般に，教科書等での記述で，最も一般的な図を基にして，命題や問題が構成される。命題群の体系化には最適だが，次のような問題点を生むこともある。
- (1) 提示されている図 (だけ) に関する命題と解釈してしまう。
- (2) 命題の「一般性」が持つ数学的価値を見落としやすい。
- (3) 一般化, 特殊化というプロセスが欠如しやすい。
作図ツールの利用と,一つの教授方略としての「サバイバルゲーム」
このような問題点を解消する手段として，作図ツールの利用が考えられる。命題や問題を変えないときでも(1) への影響があるが，「『変形』あるいは『変換』による数学的探究に適した発問」を工夫すれば，(2) や(3) に関しても効果的な指導が行える。１つの教授方略として，「サバイバルゲーム」を挙げよう。
- 「最も一般的な図や命題」ではなく，特殊な図や命題を与え，そこから一般化するプロセスを生徒の学習活動とすること。
- ある命題に注目すれば，一般化の限界が生じる。
- 命題群を考えれば，その限界が多様になる。
- どの程度の一般化に耐えるかという認識から，「サバイバルゲーム」が生まれる。
- (1) ACの中点,
- (2)線分AC上,
- (3)任意
- (1)正方形
- (2)長方形
- (3)平行四辺形,
- (4)台形,
- (5)凸四角形,
- (6) (凸でない場合も含めて) 四角形
3.0 基本的なアイデアとしての『特殊な場合からの「一般化」』
3.1 「数学的性質」のサバイバルゲール
まず，図の中にある事実, あるいは数学的性質のサバイバルゲームである。
例( 飯島他[1997]) ：図１の中にある様々な「合同な三角形の組」に関して，点Ｂの位置に関して，
なお，この図形に関しては,「合同な三角形の組」以外にも，相似性，四角形の種類，線分の長さなど，様々なことに注目したサバイバルゲームがありうる。
3.2 「数学的証明」のサバイバルゲーム
また，事実としては一般に成立するものであっても，その証明もすべて一般的にできるとは限らない。同様のサバイバルゲームが成立する。
例：図２において面積について, □EFGH＝1/2□ABCDであることを証明するとき，
□ABCDが
ａ．すべての四角形が合同（あるいは面積が等しい）から
ｂ．赤い部分の大きな三角形の面積と，外側の２つの三角形の面積の和が等しいから
ｃ．三角形分割の方法を次の図のようにすると，内外２つずつが等しくなるから(1)
ｄ．三角形分割の方法を次の図のようにすると，内外２つずつが等しくなるから(2)
- 「最も一般的な図や命題」ではなく，特殊な図や命題を与え，そこから一般化するプロセスを生徒の学習活動とすること。
[要 約]
具体的な数学的探究の場面における「エルランゲンプログラム」的アプローチを明確にした。それを支援する作図ツールの「変換」あるいは「変形」の利用について検討し，一般化のプロセスを重視した教授方略として,(数学的命題／証明に関する) 「サバイバルゲーム」を明らかにした。