コンピュータを利用した数学的探究活動における証明

目       次    

0.はじめに

1.作図ツールの基本的特徴

2.「証明」の代わりとしての「例示」??
  -「探究」ぬきに「測定等による妥当性の検証」を考えることの不毛性-

3.数学的探究の観点から見た作図ツールと証明の関わり

  3.1.「証明」の発見には「直接的には」役立たない作図ツール
  3.2 「「特定の事実」ではなく,「一定の条件を満たす集合全体」に対する命題」の理解
  3.3 証明のための動機づけの道具としての作図ツール
  3.4 「問題状況」からの問題の発見の道具としての作図ツール
  3.5 「客観的知識」としての数学的命題に「個人的・主観的」な側面を生成する道具
      としての作図ツール
     (1)「技能」の多様性
     (2)「解釈/注目する事実」の多様性
     (3)「次の一手/次に考えたい問題」の多様性
  3.6 数学的探究における「妥当性の検証」の意味
     (1) 問題状況の形成のための手段として
     (2) 生徒(探究者)が発見した(答えが未知の)問題に対してアプローチするための手段として
  3.7 数学的探究における証明の役割
     (1) 推測したことが,正しいことを裏付ける
     (2) 推測が正しくない場合,それを示唆し,正しい推測に修正するための手掛かりを得る
     (3) 最初は気づかなかった事実の発見のための手掛かり
     (4) 一般化のための方向づけ

今後の課題

0.はじめに

1.作図ツールの基本的特徴

問題の図を迅速かつ精確に描画し,測定等を行うことができる。

• 作図,変形,測定,(運動の跡としての)軌跡,(条件を満たす点の集合としての)軌跡など

問題の図に関して,インターラクティブな探究が可能である。つまり,次のような活動が可能である。

• 問題の条件を満たすいろいろな場合について,調べてみる。「いつも○○となっている」ことや,そこで成立する関数関係等を確認したり,発見したりすることができる。
• その中で特殊な場合に注目してみる。
• あるいは,一般化してみる。その結果,「この条件がないと成立しない」ことが分かったり,あるいは,より一般的な結果が分かったりする。
• 通常の意味での補助線,つまり証明のための手掛かりとなる幾何的対象を追加し,その補助線が,条件下でいつでも使えることを確かめてみる。
• たとえば,ある点の軌跡を予想し,その集合の候補としての補助線を追加し,予想の妥当性を検証してみる。
• 関連性がありそうと感じた,新たな図形を作ってみる。

2.「証明」の代わりとしての「例示」??

-「探究」ぬきに「測定等による妥当性の検証」を考えることの不毛性-

3.数学的探究の観点から見た作図ツールと証明の関わり

3.1.「証明」の発見には「直接的には」役立たない作図ツール

3.2「「特定の事実」ではなく,「一定の条件を満たす集合全体」に対する命題」の理解

3.3証明のための動機づけの道具としての作図ツール

例1:円周角の定理


ソフトの機能を最も発揮する方法は,動点 P を円周上に動きを制限し,点 P が動いても角度が変わらないことを示すものである。しかし,「角度が変わらない」という事実は,「変化するのかどうか」ということを疑問に思っていない限り注目すべき事実にならない。場合によっては, 「 P の動きには無関係なもの」として認識されてしまうことさえある。そのため,むしろ, P の動きは制限せず,円周の近辺での変化に注目したり,角度が一定になる場所をプロットすると円になりそうなことを予想したりする方が,ずっといい。


例2:接弦定理

円周角の定理と円に内接する四角形の性質との関わりで,接弦定理を扱うことがよくあるが,たとえばGeometric Constructorなどでは,円周角の定理などでは,「2点を通る直線」として扱われるものが,接弦定理の場合には,「接線」となるため,「消える」。接線を描いたものをはじめから用意しておくなどの手もあるが,むしろ,「消える」現象をそのまま提示する方法もある。そして,「むしろ,どういう場合を考え,どう扱ったらいいだろうか」と,コンピュータでは扱ってくれない特殊な場合を,理想的にはどういうものとして捉え,どう解釈するといいのかと,数学の世界の中で扱うべき問題として扱うことによって,「コンピュータではできないが,数学でならば扱えるもの」と演出することも可能になる。


例3: PA = PB となる P の集合(垂直二等分線)

たとえば,Geometric Constructorの場合,ABを水平にとり,キーボードで操作する場合には,求める集合は,非常に簡単に求めることができる。しかし,ABを少し斜めにとったり,マウスを使うは事情は大きく異なってくる。どちらが適切な問題状況を生成するかは,授業の目的によって,変わってくるだろう。


例4:条件を満たす点の集合

たとえば,Geometric Constructorの場合,上記のような条件を満たす点の集合を手軽に求める機能として,「条件を満たす点の集合」としての軌跡の機能がある。環境内で数式として構成可能なものについては,実験的に調べることができる。答えが分からない問題について,この機能を使って概形を調べることは,かなり有効なのだが,そういう集合を調べること自体が生徒にとって授業中の中心的な活動である場合には,この機能を使うことが必ずしも適切とはいえない。というのも,生徒がすべきことは,「順序よく画面内の一定の領域で矢印キーを押しつづけること」などの機械的な作業になってしまうからである。むしろ,その機能は使わず,測定値を観察しながら,自分の目でプロットする方が適切な場合が多い。そして,調べた結果を集約することが必要な場合には,事前にディスプレィにTPシートを貼り付け,それを後で「重ねる」方が,授業としてのよさを引き出せる場合が多い。


例5:測定機能

同様のことは,一般に,「測定機能」に関しても言える。それをどこまで使うべきかは,授業の目的と,生徒の作業内容によって,かなり違うのである。「長さの相等」や「平行関係,垂直関係」であれば,むしろ,目や指で確かめさせる方がいい。また,関数関係を調べる場合でも,「数式」機能を用いることもできるが,場合によっては,グラフ用紙を用意し,そこにプロットするようにする方が適している場合もある。

3.4「問題状況」からの問題の発見の道具としての作図ツール

例6:不可能の証明(四角形の角の二等分線でできる四角形)

(1)「四角形の4つの角に二等分線によって生成される四角形」の問題は,たとえば教科書では,元の四角形が長方形,平行四辺形のときに,それぞれ正方形,長方形になることの証明問題がある。作図ツールを使う場合には,「外がどういう形のときに,中がどういう形になるだろう」という,よりオープンな発問として行うことが可能になる。
(2) そのような発問によって,元の問題だけでなく,より多くの事例を扱うことが可能になる。
(3) このとき,対応表を「その気になって」観察すれば,いくつかのことに気づく。たとえば,多くの生徒が気づくのは,「中が点になる場合が多い」ということだ。これを焦点化すれば,「中の四角形が一点になるのは,どういう場合だろう」という問いへの流れが自然にでき,円に外接する四角形の教材化が行える。
(4) もう一つは,「中にできる四角形の種類は少ない」ということである。このことは,意識化しないとなかなか気づかない。それを刺激するため,ある研究授業では,まず,外の四角形に対して,中にできそうな四角形の予想をたて,作業をし,「予想とのズレ」を焦点化した。その結果,「平行四辺形」や「菱形」,「台形」が「ない」ことが分かった。
それによって,「なぜないのか」という問いが発生する。その後の調べによって,一般に中にできる四角形は,「円に内接する四角形」になってしまうため,たとえば,平行四辺形の場合には,自動的に長方形になってしまうため,「いわゆる平行四辺形」はありえないことが導かれた。このような流れでの生徒の驚きと喜びは,かなりのものであった。
(5) 授業者をはじめ,研究授業の検討会では想定していなかったのだが,「台形はどうなのか」という問いが生徒から自然に発生した。そして,「一般の台形はなくても,等脚台形はあるはずだ」ということに生徒が気づき,実際に画面の中で作ることができた。「そう思えば,作れるんだ」という気持ちが残った。
(6) 授業としては,そこまでで終わったのだが,「どういうときに等脚台形ができるのか」ということにこだわり,自宅でその議論を完結させ,レポートを提出した生徒がいた。

3.5「客観的知識」としての数学的命題に「個人的・主観的」な側面を生成する道具としての作図ツール

(1)「技能」の多様性

(2)「解釈/注目する事実」の多様性

例:垂線の足を下ろした三角形

たとえば,次の図(ΔABCのB,Cから対辺にそれぞれ垂線の足を下ろした図)の頂点Aを水平に動かしたとする。少なくとも,次のような注目の仕方がある。

• 相似な三角形
• 二つの垂線の足の交点(E)の軌跡
• AEがつねに垂直( AE ⊥ BC)
• 円に内接する四角形の存在
• 4つの点を通る円の存在
• 垂線の足の軌跡

例:4心の仲間分け

ΔABCの重心,内心,外心,垂心をとる。「この中の仲間外れを探そう」という発問をしてみた。
静的な図では,何を言っているのか分からないが,図を動かしてみると,様子がはっきりしてくる。
これまでの経験では,以下のそれぞれの図から,二通りの分類の仕方が生まれることが多い。また,分類という意味では,2つずつに分けることが多いが,指導者の側としては,3つ(Euler線)の方に注目させたいため,「仲間外れ」という表現をとってみた(もっとよい表現がほしいが。)

(3)「次の一手/次に考えたい問題」の多様性

例:内心の軌跡

ΔABCの頂点AをBCに水平に動かしたとき,内心 I の軌跡を取ってみると,次のような図となる。

ここで,「次に何を考えるか」という手として,次のような選択肢があるようだ。

• 楕円とみて,そうかどうか確かめる(実際には違う)
• 楕円かどうかを判定するために,もっと特殊な場合(AがよりBCに近い場合や遠い場合)を調べる
• 代数的に,どのような式になるかを調べる
• 「自分には手に負えそうもない」と考え,その場ではあきらめる。(何かいい方法が生まれるまで待つ)
• このような「動かし方が悪い」と考え,別の動かし方を探す。例えば,次の図のように,B,Cを通る円上を動かし,Iの軌跡が円(の一部)となる場合を見つける。

3.6 数学的探究における「妥当性の検証」の意味

(1) 問題状況の形成のための手段として

(2) 生徒(探究者)が発見した(答えが未知の)問題に対してアプローチするための手段として

例:四角形の3角形分割と面積の和

算数の問題で,次のような問題がある。(表現の仕方は少し違う)
長方形ABCDの内部に点Pをとる。このとき,
ΔPAB + ΔPCD = ΔPBC + ΔPDA
また,これを「平行四辺形」に変えても結果は同じという問題が中学校の教科書にある。
さらに一般化してみようということになった。
台形の場合,いわば「中線のみ」になる。証明もすぐにできる。
一般の場合について考えてみることにした。素手では,ちょっと手がでない。
そこで,推測をしてみた。

• 平行線が2組あったら,2次元だった。
• 平行線が1組になったら,1次元になった。
• ということは,一般の四角形では,0次元,つまり1点ではないだろうか。そして,そういう特殊な点ということならば,重心あたりではないだろうか。
実際に測定してみると,「重心」という予想ははずれた。そして,意外にも,そのような条件を満たす点の集合は「直線」になった。
では,一体,どういう直線になると考えたらいいのか,またそれはどうしてかという方向に,探究を進めていくことが可能になった。

例:成立することはほぼ正しいが,その証明が見つからなかった例

このような例はいろいろあるが,その中から2例を挙げる(筆者以外の方によるもの)。
(1) 半径の異なる3つの円のそれぞれの共通外接線を引いたとき,共線関係にある3点が生まれる。

(2) 三角形の内接円の接点と対する頂点とそれぞれ結ぶと,共点関係が生まれる。

3.7 数学的探究における証明の役割

(1) 推測したことが,正しいことを裏付ける

しかし,必ずしもこのような場合のみとは限らない。つまり,「正しいことを裏付けるための行為としての証明」以外に,「発見のための手段としての証明」という役割もかなりある。以下では,具体例のあるものを,いくつか挙げてみることにする。(そういう意味で,包括的なリストとはなっていないが,具体性はあると思う。)

(2) 推測が正しくない場合,それを示唆し,正しい推測に修正するための手掛かりを得る

例 : 4平方の定理の証明における推測の修正

(3) 最初は気づかなかった事実の発見のための手掛かり

例 : 「4角形の角の二等分線からの4角形」における「等脚台形」ができる場合の発見

これは,前述の例における生徒の「中の四角形は等脚台形になりうる」という事例である。この場合は,「円に内接する四角形になるはずだ」という証明を得ることによって,「台形と円に内接する四角形という条件を組み合わせると等脚台形になるからあるのではないか」という示唆が得られ,発見に至った。

(4) 一般化のための方向づけ

例 : 「四角形の3角形分割と面積の和」の一般化

これも,前述の例の発展である。この問題にあたって,ある先生は,「4角形→正6角形」あるいは「4角形→正8角形」へと一般化した。両方とも,二つの式が等しくなるのだが,少しずつ一般化していくと,その様子がかなり違う。現象だけ観察していてもどうにもならなかったが,対辺の関係との関わりがわかり,証明が得られたことによって,一般化の方向が定まった。

4.今後の課題