*0. はじめに ** 久しぶりなので,忘れているかも - 「わからない」ところは,いつでも質問してください。 ** 「作図」に関しては,web上にリソースをつくりました。 -@http://yiijima-gc.org/index_resource.htm, http://yiijima-gc.org/index_resource.htm --ここに,「使い方」や「作図」についての動画解説のマニュアルがあります。 - 今日の内容がよくわからないとき,上記を参考に,次回までにはマスターしておいてください。 ** 今日は,「軌跡(1)」, 次回は「軌跡(2)」 - 動いた点の跡としての軌跡と,条件を満たす点の集合としての軌跡という二つの側面についてマスターします。 - 中学校,高校の教科書等も参考にしてください。 ** 今日から「保存」 - データを作成し,保存するときは,いつも授業のページの右上のリンクなどから次にアクセスして,そこを使ってください。 @https://yiijima.sakura.ne.jp/GCs/aue-2024c2a/,https://yiijima.sakura.ne.jp/GCs/aue-2024c2a/ **前回との関わり @http://yiijima-gc.org/contents/02_002.htm,全国学力・学習状況調査関連 *1.GCでの作図 -この授業では「要点」のみを扱います。 -「わからない人のサポート」を中心に -補足は,webにて。 --@http://yiijima-gc.org/index_resource.htm,ここの「作図」 ** 手続き -「作図」 -つくる対象の種類 -「元」にする対象の選択と指定 **1.1 練習/垂直二等分線を追加 #00008-0509-01 -上記の図に,垂直二等分線を3本追加し,その交点をOとして,「自分の名前-外心」という名前をつけて保存 **1.2 「最初から」作図 -「新規作成」 - 「元にする点」を入力 -「三角形」 -「角の二等分線」 -交点(I) -「自分の名前-内心」で保存 **1.3 練習問題 - 次の図を作成し,名前をつけて保存すること -- 三角形の垂心 -- 三角形の重心 **1.4 「次のものが存在する場合」について調べる図をつくりたい - 四角形の外心 - 四角形の内心 *2.軌跡(1) - 「動いた点の跡」としての軌跡 ** 2.1 5心について「軌跡」の観点から考える。 - 三角形ABCがあり,〇心がある。このとき,Aの動きに対して,〇心はどんな動きをするのか。 *** 外心の場合について調べるには - 作図(三角ABCとその外心Oを作図) - Aの軌跡を緑,Oの軌跡を赤にする - 「自分の名前-外心-軌跡」と保存する - 動かしてみて,どんなことがわかるか。 *** 他の心に関して,観察し,結果をまとめよ。 -@http://yiijima-gc.org/material/sh_5shin_trace.htm, これを参考にしてもいいです。 ** 2.2 ある作図問題 -下記は,有名な問題ですが,「軌跡のアイデア」を使って解決するものです。 ***問題 -「三角形ABCに対して,3辺の上にすべての頂点がのる正方形を作図せよ」 -- より具体的には,AB上にD, BC上にE,F, CA上にGがのるような正方形。 - 解決のために,「こんな考え方」があるらしい。 -- 4点がのるのはむずかしい。 -- そこで,3点がのるような図をまずつくってみる。 -- その図形を動かして「軌跡」を調べてみる。 -- そこでわかることを手がかりに,「作図」の考え方がわかるはず。 **2.3 上記の問題の「発展」 - 問題 半円にすべての頂点がのる正方形を作図せよ。 -- より具体的には,まず,線分をかく。それを直径とする円をかく。その円の上半分に2点,直径上に2点がのるような正方形をかけ。 *3. 「自分の課題」の作図 - 「点が動いた跡」としての,自分の問題を作成・保存して「自分の名前-0508課題」という名前で保存してください。 - 思いつかなかったら,次回までに作成・保存してください。 - 次回も同様に,「条件を満たす点の集合」についての課題がありますから,「作図する価値がある問題」を見つけておいてください。 *4. 課題(まなびネットへ) **4.1 「軌跡調べるに値する問題」を、二つ探す - 一つが,「点が動いた跡」としての軌跡の問題 - もう一つは,「条件を満たす点の集合」としての軌跡の問題 **4.2 動画をみて,.... - 「作図」のマニュアル等の解説動画について - それをみて,なにを理解したのか,感じたのか等をまなびネットで **4.3 今日の授業の感想 - 定番 *5. 前回の課題について **5/8 夕方までの提出分 -犬飼くん --1.内心と外心が一致するような三角形はどのような三角形か。(自作) --2.四角形ABCDに対し、三角形ABCと三角形BCDの面積が等しくなるとき、四角形ABCDはどのような四角形か。(自作) --- 例としてはいいと思います。答えはかなり明確かな。 -堀田くん --1.三角形ABCの2つの頂点B,Cを通る円の中心がどんな線上にあるかを考える。 --2.三角形ABCの2つの辺AB,BCに接する円の中心がどんな線上にあるかを考える。 ---(出典:未来へひろがる数学2) ---ある意味,「実際に作図してみて考える」と,いろいろなことを考える問題だと思います。 **それ以降は,webに追加 -印刷には反映できていないかも。 -大原 悠稀 --四角形ABCDの辺AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれP,Q,R,Sとする。 ---(1) 四角形PQRSは平行四辺形であることを示せ。 ---(2) 四角形PQRSが円に内接するならば,四角形ABCDの2本の対角線は直交することを示せ。 ---(3) 四角形PQRSが円に内接するならば,四角形PQRSは菱形になることおよび四角形ABCDの2本の対角線の長さは等しいことを示せ。 ---講義内で考えた図形の性質の発展。条件を満たすときにはどんな形でも性質が成り立つことを確認する。 ---出典:東京書籍,改訂版ニューグローバルβ数学I+A+II+B,p.41. 京都女子大学過去問題) --「確認する」のも悪くはないけど,もう一歩進めることができるとうれしいよね。 --三角形ABCの内心をIとし,AIの延長が外接円と交わる点をDとするとき,DI=DB=DCであることを証明せよ。 ---...条件を満たす場合はどのような形でも等式が成り立つことを確認する。 ---(出典:東京書籍,数学A Advanced,p.142) --これも「確認する」のも悪くはないけど,もう一歩進めることができるとうれしいよね。 --「問いを変える」という手もある。 -芳村 謙慎 --1.座標平面上で、x,y座標がともに整数である点を格子点という。4頂点がすべて格子点である平行四辺形を格子平行四辺形ということにする。次の(1),(2)を証明せよ。 ---(1)格子平行四辺形の面積は1以上の整数値である。 ---(2)内部に格子点を含む格子平行四辺形の面積は2以上の整数値である。 ---(出典:河合出版 やさしい理系数学 三訂版 p15) --・まず最初に「(面積1の)格子平行四辺形を作ってみよう。」的な問題を与える。色々動かしているうちに、面積がすべて整数値になること等に気付くと思われる。その後で、(1)(2)を解いてもらう。 --この問題の背景を理解できると,少し深掘りしたアプローチにできるかもね。 --2.角A=π/2,AB=AC=1である直角二等辺三角形ABCがある。その内部に1点Pをとり、角BAP=角PBCとなるようにPを動かすとき、点Pの軌跡の長さ、および線分CPの長さの最小値を求めよ。 --(出典:河合出版 ハイレベル理系数学 三訂版 p30) --・講義で扱った問題とほぼ同じで、点Pの軌跡は円を描く。 --ある意味,自然な形で問題提示できるということかな。 -寺本 采香 --・円の接線はその接点を通る半径に垂直であることを調べる活動を通して、円の接線を作図する方法を考える。(自作) ---「問い」などを工夫するといいかも。 --重心、外心、内心、垂心、傍心をそれぞれ三角形とその点のみを表示し、三角形を動かしたり、線を引いたりすることでその点の性質を求める問題。(自作) --いまの段階では,「何ができるのか」がよくわからないけど,問いや活動を具体的にしていくと,形になるかも。 -藪木 ひなた --(1)四面体ABCDの辺の中点をそれぞれP,Q,R,Sをとする。四角形PQRSはどんな形になるか。 -- <四面体の頂点を動かす> -- (数研出版 改訂版高等学校数学A P108) -- GCの中では,四面体そのものはつくれないんだけど,想像することだけなら.... --(2)正六面体ABCD-EFGHの角を切り取ることを考える。 -- 1つの頂点に対して、その頂点に集まる辺上に、頂点から等距離の点を取り、それらを通る平面で立体の角を切り取る。さらに、立体のすべての頂点において、同じ方法で角を切り取る。 -- 角から切り取る部分の大きさを変えると新しくできる立体はどのような立体になるか。 -- <切り取る部分を動かす> -- (数研出版 改訂版高等学校数学A P110) --こちらの方がより一層立体に関する問題なので,....ちょっと難点あり。 -田中 真歩 --・図形を切り分けるとそれぞれどんな図形になるか調べる。(どこと平行にすれば平行四辺形になる。どこと垂直にすれば長方形になる 等)(自作) --これは,問いや活動やそのための操作などを明確にすると,いいのでは。 --・図形を回転させるとどんな形が出来るかを回転の中心を動かして考える。(自作) --回転体は,3Dになります。 -松下 沙希也 --1.∠A=90度の直角三角形ABCの外側に、正三角形BADと正三角形ACEを作る。線分CDと線分BEの交点をPとするとき4点C、E、A、Pは1つの円周上にあることを証明せよ --(チャート研究所.増補改訂版 チャート式 解法と演習 数学Ⅰ+A,p.356.数研出版,2018.) --2.鋭角三角形ABCにおいて、Aから辺BCに下ろした垂線の足をD、Cから辺ABに下ろした垂線の足をEとする。ADとCEの交点をFとし、BFの延長と辺ACの交点をGとする。 ---(1)四角形BDFEは円に内接することを証明せよ ---(2)四角形AEDCは円に内接することを証明せよ ---(3)三角形ABGと三角形ACEは掃除であることを証明せよ ---(4)四角形AEFGは円に内接することを証明せよ ---(四訂版 数研出版 メジアン数学演習ⅠⅡAB 受験編 p43 2021. ) --「証明問題」の形を,「発見する形の問題」に変えるだけで,かなり印象が変わるでしょう。 -鈴木 美怜 --1.△ABCにおいて∠Bの二等分線が辺ACと交わる点をE,∠Cの二等分線が辺ABと交わる点をDとする。DE//BCのとき△ABCは二等辺三角形であることを証明せよ。 ---(数研出版 4プロセス 数学Ⅰ+A p138) --2.三角形の内心と外心が一致すればその三角形は正三角形であることを証明せよ。 ---(数研出版 4プロセス 数学Ⅰ+A p140) --「証明問題」の形を,「発見する形の問題」に変えるだけで,かなり印象が変わるでしょう。 -山田 大将 --鋭角三角形ABCの外心をO,垂心をHとし、Oから辺BCに下ろした垂線をOMとする。また、△ABCの外接円の円周上に点Dをとり、線分CDが円の直径になるようにする。この時四角形ADBHは平行四辺形である事を証明せよ --(数研出版 チャート式基礎からの数学Ⅰ+A 例題71) --(2)△ABCの辺BC,CA,ACの中点をそれぞれD,E,Fとする。このとき、△ABCと△DEFの重心が一致することを証明せよ。(数研出版 チャート式基礎からの数学Ⅰ+A 練習70) --「証明問題」の形を,「発見する形の問題」に変えるだけで,かなり印象が変わるでしょう。 -西村 優里 --1.△ABCの外心をOとし、Oは辺AB上にないとする。角BAOの二等分線が外接円と再び交わる点をDとするとき、AB//ODであることを証明せよ。 --2.三角形の外心と内心が一致すれば、その三角形は正三角形であることを証明せよ。 --(出典:数研出版 3TRIAL数学Ⅰ+A、p128) --「証明問題」の形を,「発見する形の問題」に変えるだけで,かなり印象が変わるでしょう。 -黒田 七夢 --鋭角三角形ABCについて、点B,Cから対辺に下した垂線をそれぞれBD,CEとし、2線分BD,CEの交点をFとするとき、次の問いに答えよ。 --BE・BA+CD・CA=BF・BD+CF・CEを示せ。(数研出版 三訂版 クリアー数学演習Ⅰ・Ⅱ・A・B 受験編 Example20) --AB>ACである△ABCにおいて、角Aの外角の二等分線が線分BCの延長と交わる点をDとする。角B,角Cの二等分線と辺AC,ABの交点をそれぞれE,Fとすると、3点D,E,Fは1つの直線上にあることを証明せよ。(数研出版 改訂版 クリアー数学Ⅰ・A 155) --「証明問題」の形を,「発見する形の問題」に変えるだけで,かなり印象が変わるでしょう。 -安達 瑠斗 --円の接線はその接点を通る半径に垂直であることを利用し、円の接線を実際に作図する。 ---(自作) --正三角形や二等辺三角形の性質を理解し、作図する方法を考える。(自作) --「作図する方法」というのは,どういう意味でのことなんだろうね